【优秀教案】高中数学第二册上-第八章-圆锥曲线方程：-8.3双曲线及其标准方程

课题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力奎屯王新敞新疆教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用奎屯王新敞新疆教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握奎屯王新敞新疆本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法奎屯王新敞新疆双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握奎屯王新敞新疆而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键奎屯王新敞新疆应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节奎屯王新敞新疆坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具奎屯王新敞新疆犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹奎屯王新敞新疆双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起奎屯王新敞新疆因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育奎屯王新敞新疆双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆椭圆定义：平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距奎屯王新敞新疆在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）奎屯王新敞新疆两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）奎屯王新敞新疆椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关奎屯王新敞新疆2.椭圆标准方程：（1）12222byax奎屯王新敞新疆（2）12222bxay奎屯王新敞新疆其中222bca奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆即aMFMF221这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距奎屯王新敞新疆概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21FF”奎屯王新敞新疆在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）奎屯王新敞新疆两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）奎屯王新敞新疆双曲线的形状与两定点间距离、定差有关奎屯王新敞新疆2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21FF，的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴奎屯王新敞新疆设P（yx,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（0c）奎屯王新敞新疆则)0,(),0,(21cFcF，又设M与)0,(),0,(21cFcF距离之差的绝对值等于2a（常数），ca22奎屯王新敞新疆aPFPFPP221221)(ycxPF又，aycxycx2)()(2222，化简，得：A2A1PF2F1xOy)()(22222222acayaxac，由定义ca22022ac令222bac代入，得：222222bayaxb，两边同除22ba得：12222byax，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,(),0,(21cFcF，其中222bac若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y轴上，则焦点是),0(),,0(21cFcF，将yx,互换，得到12222bxay，此也是双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：A2A1F2F1xOy12222bxay(0a,0b)(2)cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba奎屯王新敞新疆其中a与b的大小关系:可以为bababa,,奎屯王新敞新疆4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴奎屯王新敞新疆而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1判断下列方程是否表示双曲线.①方程②方程表示以（０，４）为端点，沿着Ｙ轴正方向一条射线。例2:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变题1:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离的差等6442222yxyx8442222xyxy于6,如何?差等于0,如何?变题2:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?例3判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量cba,,的值奎屯王新敞新疆①12422yx②12222yx③12422yx④369422xy（1232222xy）奎屯王新敞新疆分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，2x项的分母是2a；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上，2y项的分母是2a奎屯王新敞新疆解：①是双曲线，6,2,2cba；②是双曲线，2,2,2cba；③是双曲线，6,2,2cba；④是双曲线，13,2,3cba奎屯王新敞新疆例4已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到)0,5()0,5(21FF，的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程奎屯王新敞新疆解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222byax(0a,0b)奎屯王新敞新疆∵102,62ca∴5,3ca∴1635222b奎屯王新敞新疆所求双曲线标准方程为116922yx奎屯王新敞新疆例5一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m／s，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型奎屯王新敞新疆根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值奎屯王新敞新疆解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上奎屯王新敞新疆因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．(2)如图，建立直角坐标系xoy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合奎屯王新敞新疆PBAxOy设爆炸点P的坐标为),(yx，则|PA|－|PB|=340×2=680，即2a＝680，a＝340．又|AB|=800，∴2c=800，c=400，222acb＝44400奎屯王新敞新疆∵|PA|－|PB|＝680＞0，∴x＞0奎屯王新敞新疆所求双曲线的方程为14440011560022yx（x＞0）奎屯王新敞新疆例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用奎屯王新敞新疆想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力奎屯王新敞新疆四、课堂练习：练1：a=4,b=3,焦点在x轴上;练2：双曲线上一点P到F1的距离为15,求一点P到F2的距离?练3．求与圆A和圆B都外切的圆的圆心P的轨迹方程。4．求a=4，b=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆5．求a=25，经过点（2，-5），焦点在y轴上的双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆6．证明：椭圆22525922yx与双曲线151522yx的焦点相同奎屯王新敞新疆7．若方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、49522yx49522yx116922yx第四象限8．设双曲线191622yx上的点P到点)0,5(的距离为15，则P点到)0,5(的距离是（）A．7B.23C.5或23D.7或23奎屯王新敞新疆练习答案：5.191622yx;61162022xy;7.22525922yx)0,4(192522Fyx,151522yx)0,4(111522Fyx;8.D.1cossin22yx表示焦点在y轴上的双曲线Ⅳ0cos0sin,所以选D.5.D.dad82|15|7或23奎屯王新敞新疆课后练习答案1．判断方程13922kykx所表示的曲线。解：①当390309kkkk时，即当3k时，是椭圆；②当0)3)(9(kk时，即当93k时，是双曲线；2．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。答案：1162022yx奎屯王新敞新疆162036545552,62bac奎屯王新敞新疆3．求经过点)72,3(P和)7,26(Q，焦点在y轴上的双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆答案：1752522xy奎屯王新敞新疆4．椭圆134222nyx和双曲线116222ynx有相同的焦点，则实数n的值是（）A5B3C5D9答案：B5．已知21,FF是双曲线191622yx的焦点，PQ是过焦点1F的弦，且PQ的倾斜角为600，那么PQQFPF22的值为________（答案：4a＝16）奎屯王新敞新疆6．设21,FF是双曲线1422yx的焦点，点P在双曲线上,且02190PFF,则点P到x轴的距离为()A1B55C2D5答案：B奎屯王新敞新疆21PFFRt的面积为2b，从而有2||221byc55||y奎屯王新敞新疆7．P为双曲线)0,0(12222babyax上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆222ayx的位置关系是（）A内切B外切C外切或内切D无公共点或相交奎屯王新敞新疆答案：C五、小结：双曲线的两类标准方程是)0,0(