大规模传染病的疫情控制模型分析

大规模传染病的疫情控制模型分析摘要：大规模传染性疾病的突然爆发与迅速蔓延对人类的生存造成巨大的威胁。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又开始了在世界范围内的大规模传播，因此对于H1N1甲型流感疫情的防控和发展情况进行预测显得尤为重要。本文利用数学模型来解决这个问题。问题一，根据微分方程的原理，建立一个传统的传染病模型，此模型为近似于自然传播时的S-I-R模型。对模型进行求解，可得到传染病在自然传播下的预测函数。结论是：在爆发初期还未进行有效的防控措施时，确诊人数快速增加。问题二，我们是在问题一的基础上，考虑政府对疫情采取防控措施的情况下，传染病的传播和发展趋势。对模型的求解结果进行分析和检验可得：越早的采取隔离措施、隔离强度越强对疫情的控制越有利，且当7.0p时，与中国患病人数增长曲线拟合的较好，因此可知中国政府对疫情控制力度应该是0.7左右。关键字：H1N1；甲型流感；微分方程；S-I-R模型引言甲型H1N1流感病毒：甲型H1N1流感病毒是A型流感病毒，携带有H1N1甲型猪流感病毒，包含有北美和欧亚猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的核糖核酸（RNA）基因片断，同时拥有亚洲猪流感和非洲猪流感病毒特征。易感类：（S类）指虽未得病但与已病者接触后容易受到感染的一类人。感染类：（I类）指感染上某种病原体的一类人。移出类：（R类）指因患病而被隔离或感染死亡或因痊愈而具有免疫力的一类人，他们这时既非感染者，也非易感染者，实际上已经退出了我们所考虑的传染病系统。在这里我们用治愈者（R）和死亡者（D）代替。1、问题的提出2002年爆发的非典疫情给全世界，尤其是中国留下了永远无法磨灭的记忆。大规模传染性疾病的突然爆发与迅速蔓延对人类的生存造成了巨大的威胁。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又开始了在全世界范围内的大规模传播，截至2009年6月11日，世界卫生组织宣布全球共报告患者人数共28774人，遍布74个国家和地区。同日，世界卫生组织还召开了紧急专家会议，决定将甲型H1N1流感大流行警戒级别提升至最高的第六级，意味着宣布“甲流”进入全球大流行阶段。面对来势汹汹的疫情，中国政府汲取了2002年非典疫情控制的经验和教训。疫情一开始就采取了坚决有效的防控措施，对患者和与患者密切接触的人员一经1发现，立刻进行隔离，直至排除发病可能。这些措施对疫情的控制起到了明显的效果。截至2009年6月14日，中国内地共发现196例患者，尚无一个死亡病例。而一些美洲国家患者人数上升速度却较快。现建立数学模型完成以下问题：（1）搜集疫情爆发初期中国的H1N1疫情统计数据，建立数学模型并对疫情发展情况进行预测；（2）建立数学模型来刻画有效的防控措施对疫情传播的作用，并结合预报结果分析、比较采取防控措施力度的大小对疫情的影响。2、模型假设（1）H1N1甲型流感可由猪传染给人，也可在人群间传播。本模型仅考虑人群间的传播。（2）认为疫情持续期间内系统总人数不变，同时不考虑此期间的出生人口和自然死亡人口。（3）H1N1甲型流感的潜伏期为1至7天左右，本模型取7天。（4）将所考查人群分为易感类、感染类、治愈者、死亡者四类。（5）假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。（6）假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。（7）假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。（8）不考虑隐性H1N1甲型流感患者，即只要感染上H1N1甲型流感病毒的患者最终都会表现出症状。3、符号说明符号含义()It现有感病者人数)(tS易感者人数()Yt累计感病者人数()Rt治愈人数()Dt死亡人数1k病人的死亡率2k病人的治愈率()rt未被隔离的病人平均每人每天传染的人数p隔离强度t时间ba,常量参数反映)(tr的变化快慢24、问题分析对问题一：该问题是对一个继SARS后又一个比较典型的传染病模型的研究。由于H1N1的传播受交通、某地区的人流量、社会经济、文化等因素的影响，而影响疫情发展趋势的最直接的因素是：感染者的数量、传播形式以及病毒本身的传播能力、对感染者的隔离强度、入院时间等，我们在建立模型时不可能也没有必要考虑所有因素，只需抓住关键因素，进行合理的假设并建立模型。首先我们把人群分为四类：易感人群、感病人群、治愈人群和死亡人群，分别用)(tS、()It、()Rt和()Dt表示。然后建立一个传统的传染病模型，此模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，即如下图所示：图1疫情传播示意图对问题二：随着感病人群数量的增加，人们的防范意识逐渐增强，促使日传染率减小。引起人们防范措施增强的原因主要有两方面：（1）来自于因对疫情的恐慌心理，而迫使人们加强自身防范意识；（2）来自卫生部门政策、法律法规的颁布等，而加强了防范措施意识。以上两个方面又都受疫情严重程度的影响，关系如图2所示：这些因素都可以使)(tr减小，但主要体现在卫生部门的隔离强度p和采取隔离措施的时间t上。即模型二是在模型一的基础上考虑隔离强度p和时间t的因素，建立微分方程模型。图2疫情的影响关系图5、模型建立与求解5.1问题一5.1.1模型建立易感类（S）感染类（I）移出类（R和D）人们的防范意识疫情严重卫生部门的防范措施控制力度加强)(tr减小疫情减缓3假设产生第一例H1N1甲型流感病人之后的t时间内是近似于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数)(tr为一常数。我们考虑自然传播下的几类人群的变化情况，并通过分析各类人群的状态转化关系，建立微分方程，得到S-I-R模型。现有感病人数的变化是由t时间段内的新增感病者、死亡人数和痊愈人数决定的：现有感病人数的变化＝新增感病人数－(死亡人数＋痊愈人数)。r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，2k和1k分别为治愈率和死亡率。则有新增感病人数为现有感病者在单位时间（天）内的感染人数：新增感病人数=现有感病人数感病者每人在t时间内的感染人数=trtI)(新增死亡人数=死亡率现有感病人数t=)(1tIkt新增痊愈人数=痊愈率现有感病人数t=)(2tIkt于是可得：（1）现有感病人数的变化为：ttIkktrtItIttI)()()()()(21)()()()()(21tIkktIrttIttI当0t时，)()()()(21tIkktrIdttdI（2）死亡人数的变化=新增死亡人数，则有：ttIktDttD)()()(1)()()(1tIkttDttD当0t时，)()(1tIkdttdD（3）同理，痊愈人数的变化=新增痊愈人数，则有：ttIktRttR)()()(2当0t时，)()(2tIkdttdR（4）累计感病人数=现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有：4)()()()(tRtDtItY综上所述，我们可以得到甲型H1N1流感的S-I-R模型，模型一：)()()()()()()()()()()()(2121tRtDtItYtIkdttdRtIkdttdDtIkktrIdttdI（1）其中，初始值为0)0(0)0(1)0(1)0(RDYI5.1.2模型求解对于现有感病者人数()It，根据S-I-R模型的方程（1），求得：tetItkkrt,)()(21（2）其中，5255.00677.07209.021kkr我们根据以上求出的解，作出了中国的现有感病者人数预测图，如图3所示：5图3中国的现有感病者人数预测图由图3分析可知，中国的H1N1确诊者人数上升较快，这是因为中国政府在爆发初期还未进行有效的防控措施，使得确诊人数快速增加。5.2问题二5.2.1模型建立在疫情发生一段时间后，卫生部门会采取有效的防控措施，如强制隔离感染者和密切接触者等。本模型为采取有效的防控措施之后的传染病模型，即考虑隔离强度p。隔离强度从自然状态下的0变为p。未被隔离的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值ba逐渐减小至最小值a。a、b的值客观存在，可从资料中查到。设每个未被隔离的病人每天感染的人数tbeatr)(其中，用来反映)(tr的变化快慢，可以查资料估计出它的大小（=0.02）。类似于问题一的分析，我们来考虑在采取隔离措施后的t到tt时段内各类人群的变化情况。现有感病人数的变化是由t时间段内的新增感病者、死亡人数和痊愈人数决定的：现有感病人数的变化＝新增感病人数－(死亡人数＋痊愈人数)。()rt为每个未被隔离的病人每天感染的人数，2k和1k分别为治愈率和死亡6率。则有新增感病人数为现有感病者在单位时间（天）内的感染人数：新增感病人数=现有感病人数感病者每人在t时间内的感染人数=ttrtIp)()()1(新增死亡人数=死亡率现有感病人数t=)(1tIkt新增痊愈人数=痊愈率现有感病人数t=)(2tIkt于是可得，（1）现有感病人数的变化为：ttIkktrtIptIttI)()()()1()()(21)()()()1()()(21tIkktIrpttIttI当0t时，)()()()1()(21tIkktrIpdttdI（2）死亡人数的变化=新增死亡人数，则有：ttIktDttD)()()(1当0t时，)()(1tIkdttdD（3）同理，痊愈人数的变化=新增痊愈人数，则有：ttIktRttR)()()(2当0t时，)()(2tIkdttdR（4）累计感病人数=现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有：)()()()(tRtDtItY综上所述，可得微分方程模型二tttRtDtItYtIkdttdRtIkdttdDtIkktItrpdttdI,)()()()()()()()()()()()()1()(2121（3）其中,76.0245.0)(babeatrt初始值取模型一的最后一个值。5.2.2模型求解我们求得现有感病人数的方程：ttetItebPtkkap,)()1()1(])1[(21（4）其中，6.0245.0ba经由分析得ba、为常量参数，p和为待估计的参数。现在来估计p和，现分别取p和的估计值为：6.0p，0.7，0.802.0。至此()It即为关于t的一元确定函数。根据以上求解结果，我们可以作出采取有效措施后的感病者人数预测图，如图4所示：图4采取不同力度措施后的感病者人数对比图控制力度p不同，患病人数增长的快慢不同，且对患病人数增长速度影响较8大。控制力度越大，则其患病人数越少；反之，控制力度越小，则患病人数越多，患病人数增长的越快。从图中可知当时7.0p，与中国患病人数增长曲线拟合的较好，因此可知中国政府对疫情控制力度应该是0.7左右。5.2.3控制力度大小对患病人数增长对比中国控制力度大于美国对疫情的防控力度，因此我们以中国和美国作为防控力度大小不同的两个国家进行对比。如下图：由图5可得：在甲型H1N1流感疫情爆发初期，美国没有采取有力的防控措施，加上美国是一个世界大国，人口流动很快，致使疫情迅速蔓延到全球，并且迅速增长。相对于美国而言，中国政府有了非典时期的经验和教训，从而在疫情爆发初期就采取了强有力的防控措施，如隔离确诊病人、疑似病人和密切接触者，尽力将病毒感染率降到最低。这些措施对疫情的控制起到了明显的效果。图5中国和美国患病人数趋势对比图9结束语（1）为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈率、死亡率等参数在一定时间段内不发生变化，而实际情况下，随着感染人数的减少是会发生变化的，还需要针对具体情况做具体分析。（2）模型把人群的每一个个体、每一个地区视为相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响