第五章-积分论

第五章积分论教学目的：1.掌握可测函数的L积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,Levi单调收敛定理和Fatou定理.3.掌握积分的不等式性质和积分的绝对连续性以及积分号下取极限的问题,即控制收敛定理.应注意分清定理的条件和结论.重点难点：1.定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性.本节定义非负简单函数的积分.2.Levi单调收敛定理和Fatou定理.应注意分清各个定理的条件和结论.3.一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧.引言有100张各种面值的纸币,求总币值.)(xf:]100,0[,)(xf的值有10种(略去1,2,5分)1.01y,2.02y,5.03y,14y,25y,56y,107y,208y,509y,10010y.)(xf在),1[kk上取kny,100,,2,1k.两种方法:(i)从左到右累加S)]1()[(1001kkfkkknky1001(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一s,101s,把所有取sy的区间相加.ssyS101的区间长度之和所有取值为sy如:对01)(xD上无理数为上有理数为]1,0[]1,0[xxRiemann不可积.而对Lebesgue:)(0)(1mQm,即)(Qm个1加上)(m个0结果为0.所以0)(10dxxD.......010012......0100ys对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue积分,我们从最简单开始.§5.1非负简单函数的L积分设D是可测集,kE是有限个或可数个两两不相交的D的可测子集,使得DEk,则kE称为D的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处kE不一定是区间,是一般集合)设f是可测集D上的非负简单函数.此时f可以表示为)()(1xaxfiEisi其中siiE1是D的一个分割,ia都是非负实数,此时f在D上Lebesgue积分定义为:Ddxxf)()(1iisiEma并且当Ddxxf)(时,称f在D上L可积.(此时,未必D测度有限,因)(iEm时,可能0ia)如:Dirichlet函数就是一个简单函数.下介绍L积分的基本性质.定理5.1.1设f和g是可测集D上的两个非负简单函数,而且)()(xgxfa.e.D,则它们在D上的积分相等.(如:01)(xD无理数有理数xx与0)(xf就是a.e.相等)证明:设)(xf)(1xaiEiSiDx,其中SiiE1是D的一个分割,ia都是非负实数;)(xg)(1xbjFjTjDx,其中TjjF1是D的一个分割,ia都是非负实数.此时只要jiFE不是零测集(f在其上为ia,g在其上为jb),就有jiba.这样不管jiFE是否为零测集,都有)(jiiFEma)(jijFEmb于是Ddxxf)()(1iiSiEma)]([11jiTjiSiFEma)(11jiTjiSiFEma(DFj,iF,jF两两不交))(11jiiTjSiFEmaaiEi以“iE是区间”为例.若不是,则是推广的“长方形”,其面积也为)(iiEma)(11jijTjSiFEmb)(11jiSijTjFEmb)]([11jiSijTjFEmb)(1jjTjFmbDdxxg)(可见,L积分与R积分的差别是L积分不计较零测集.定理5.1.2设f和g都是可测集D上的非负简单函数.(i)若)()(xgxfa.e.D则dxxgdxxfDD)()(;(ii))()(maxDmxffdxD,特别0)(Dm时,0Dfdx;(iii)若和是两个非负实数,则Ddxgf)(DDgdxfdx(iv)若A和B是D的两个不相交的可测子集,则BAfdxBAfdxfdx证明:(i)与定理5.1.1证明类似,只需注意当jiFE不是零测集时jiba.(ii))(1iiSiDEmafdx)()(max11iSiSiEmxf)()(max1iSiEmxf)()(maxDmxf(iii)由于TjSijiFE1,1是D的一个分割,并且)()(xgxf)()(11xbajiFEjiTjSi从而Ddxgf)()()(11jijiTjSiFEmba)(11jiiTjSiFEma)(11jijTjSiFEmb)(1iiSiEma)(1jjTjFmbDDgdxfdx(iv)BAfdx))((1BAEmaiiSi)(1jiTjFE)()(11jTjiTjFEDEiiE类似:)(1jiSiFE)()(11jSiiSiFEjFDjFDEiiE两两不交)(1AEmaiiSi)(1BEmaiiSiBAfdxfdx以上为简单函数的L积分,若)(xf只在D非负可测,?Df由前面,有非负简单函数列)()(xfxn,则DnnDxf)(lim.有无问题?若又有)()(xfxn,则DnnDxf)(lim.二者等吗?引理5.1.1设g和nf都是D上非负简单函数,若满足(i)对几乎所有Dx,1)(nnxf单增;(ii))(lim)(0xfxgnna.e.D则DnnDxfgdx)(lim.证明:令)(),(min)(xfxgxhnn,2,1n,则)(xhn是非负简单函数,且1)(nnxh在D上几乎处处收敛于)(xg.情形1.)(Dm由Egoroff定理,对任何0,有D的可测子集1D,使)(1DDm,而且在1D上,)(xhn一致收敛于)(xg,从而有N,使)()(xgxhn1DxNn即)()()(xfxhxgnn1DxNn由定理5.1.2111)()(DndnDfhg1Dg1)(1DnhDm1)(1DnfDmDnfDm)(从而1DgDnnfDmlim)(另一方面1DDg)()(max1DDmxg)(maxxg这样Dg11DDDggDnnfxgDmlim)(max)(而)(Dm,)(maxxg也有限,任意,所以DgDnnflim情形2.)(Dm此时对每一1k,令],[kkDDk,则)(kDm.由已证,有kDgdxkDnndxflimDnndxflim………………(*)而kDgdx)(1kjjTjDFmb(因)()(1xbxgjFjTj,)(1jjTjDFmbg)又DDk,所以jkjFDF,于是kDkglimkjnjTjDFmblim1)](lim[1kjnjTjDFmb(单增时,测度和极限符号交换序))(1jjTjFmbDg(*)式中令k,得DnnDfglim定理5.1.3设nf和ng是可测集D上两列非负简单函数,而且对几乎所有的Dx,1)(nnxf,1)(nnxg都单增收敛于相同的极限,则DnndxflimDnndxglim证明:任意固定1n,则对几乎所有的Dx,有)(lim)(lim)(0xfxgxgkkkkna.e.D由引理5.1.1DkkDndxfdxglim令n(与k无关)DkkDnndxfdxglimlim类似DkkDnndxfdxglimlim所以DnnDnngflimlim§5.2非负可测函数的L积分现在我们来定义非负可测函数的Lebesgue积分.设f是可测集D上的非负可测函数.(由定理4.2.1)有D上的非负简单函数列1nnf,使对每一个Dx,1nnff,此时f在D上的Lebesgue积分定义为DfdxdxfDnnlim若Df,则称f在D上L可积.(由此得L积分唯一)注意:由定理5.1.3,上述f的积分值与nf的选取无关.定理5.2.1设f和g都是可测集D上的非负可测函数.(i)若和是两个非负实数,则DgfDDgf(ii)若A和B是D的两个不相交的可测子集,则BAfAfBf(iii)若)()(xgxfa.e.于D,则DfDg.证明用定义及定理5.1.2.如(i),由已知有非负简单函数列)()(xfxfn,)()(xgxgn,所以非负简单函数列)()()()(xgxfxgxfnn,于是DgfDnnngflimDnDnngflimDnnflimDnnglimDDgf(ii)(iii)类似.问题:1.现在nf,f都非负可测,nff,Dx,则DDnnxfxf)()(lim？此Levi单调收敛定理.(此处nf非负可测,不是非负简单函数)2.nf非负可测,则dxxfnDn)(lim与dxxfDnn)(lim关系？此Fatou定理.前面,f是D上非负可测函数,则有简单函数列1nnf,使对每一Dx,)()(xfxfn此时DfdxdxfDnnlim.Dfdx的值与1nnf无关,这样才有意义,否则不唯一.定理5.2.2(Levi单调收敛定理)设nf,f都是可测集D上的非负可测函数,而且对所有的Dx,ffn,则DfdxdxfDnnlim.(注意:nf不是简单函数,证法有多种)证明:对每一1n,有非负简单函数列1)(knk,使nnkf)()(k)1(1)1(2)1(3)1(4)1(5…)1(k…1f)2(1)2(2)2(3)2(4)2(5…)2(k…2f)3(1)3(2)3(3)3(4)3(5…)3(k…3f………………………………)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k…)(kk…kf………………………………f令)(xk)(,),(),(),(max)()3()2()1(xxxxkkkkk,Dx,,2,1k则)(xk是非负简单函数,而且)()()(021xxxkDx…………………(1))()()()(xfxxkknkkn1Dx…………………(2)从而dxxfdxxdxxDkDkDnk)()()()(kn1…………………(3)在(2)和(3)中固定n,令k,分别有下面的(4)和(5)fxxfkkn)(lim)(Dx…………………(4)DkkDkkDndxxfdxxdxxf)(lim)(lim)(1n…………………(5)在(4)和(5)中再令n,得(6),(7))(xf)()(limxfxkkDx即)()(limxfxkk…………………(6)DkkDkkDnndxxfdxxdxxf)(lim)(lim)(lim,即DkkDkkdxxfdxx)(lim)(lim…………