高考三角函数复习专题

1三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴★★2.正、余弦定理：在ABC中有:函数性质2①正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆半径）2sin2sin2sinaRAbRBcRCsin2sin2sin2aARbBRcCR注意变形应用②面积公式：111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA③余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝2－2等。（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22basin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝ab确定。2.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。336o1x1y三、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试文15）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，QP、是单位圆上的两点，O是坐标原点，6AOP，,0,AOQ．（1）若34(,)55Q，求6cos的值；（2）设函数fOPOQ，求f的值域．2．（2011年西城期末文15）已知函数2()3sin22sinfxxx.（Ⅰ）若点(1,3)P在角的终边上，求()f的值；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.（2011年东城区期末文15）函数()sin()(0,0,||)2fxAxA部分图象如图所示．（Ⅰ）求()fx的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos2gxfxx，求函数()gx在区间[0,]2x上的最大值和最小值．4考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换4．（2010年海淀期中文16）已知函数xxxf2cos)62sin()(.（1）若1)(f，求cossin的值；（2）求函数)(xf的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心5.（2011年丰台区期末文15）已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．6、（2011朝阳二模文15）已知函数2()2sinsin()2sin12fxxxx()xR.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23xf，0ππ(,)44x，求0cos2x的值.57、（2011东城二模问15）（本小题共13分）已知π72sin()410A，ππ(,)42A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sinsin2fxxAx的值域．考点六：解三角形8．（2011年朝阳期末文15）已知△ABC中，2sincossincoscossinABCBCB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)AAm，12(,1)5n，求当mn取最小值时，)4tan(A值.9．（2011年石景山期末文15）已知函数23cossinsin3)(2xxxxfRx．（Ⅰ）求)4(f的值；（Ⅱ）若)2,0(x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若BA，21)()(BfAf，求ABBC的值．20070316610、（2011东城一模文15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足2coscoscbBaA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若25a，求△ABC面积的最大值．11、(2011丰台一模文15).在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos2sin3)(2xxxxf，当)(Bf取最大值23时，判断△ABC的形状．12、(2011海淀一模文15).在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,,abc，已知1tan2B，1tan3C，且1c.(Ⅰ)求tanA；(Ⅱ)求ABC的面积.713、（2011石景山一模文15）．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且274sincos222ABC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB的最大值．8YXAOQP例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，QP、是单位圆上的两点，O是坐标原点，6AOP，,0,AOQ．（1）若34(,)55Q，求6cos的值；（2）设函数fOPOQ，求f的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin,53cos……………2分6sinsin6coscos6cos………3分1043321542353…………4分（Ⅱ）fOPOQcos,sincos,sin66………6分sin21cos23………………7分sin3………………8分[0,)4[,)333………9分3sin123…………12分f的值域是3,12………………………………13分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()3sin22sinfxxx.（Ⅰ）若点(1,3)P在角的终边上，求()f的值；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,3)P在角的终边上，所以3sin2，1cos2，………………2分936o1x1y所以22()3sin22sin23sincos2sinf………………4分231323()2()3222.………………5分（Ⅱ）2()3sin22sinfxxx3sin2cos21xx………………6分2sin(2)16x，………………8分因为[,]63x，所以65626x，………………10分所以1sin(2)126x，………………11分所以()fx的值域是[2,1].………………13分3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2fxAxA部分图象如图所示．（Ⅰ）求()fx的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos2gxfxx，求函数()gx在区间[0,]2x上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A，22362T，所以T．……2分所以2．当6x时，()1fx，可得sin(2)16，因为||2，所以6．……5分所以()fx的解析式为()sin(2)6fxx．………6分（Ⅱ）()()cos2sin(2)cos26gxfxxxxsin2coscos2sincos266xxx31sin2cos222xxsin(2)6x．……10分因为02x，所以52666x．当262x，即3x时，()gx有最大值，最大值为1；当266x，即0x时，()gx有最小值，最小值为12．……13分102T相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T；maxmin12yy;φ----代点法4．（2010年海淀期中文16）已知函数xxxf2cos)62sin()(.（1）若1)(f，求cossin的值；（2）求函数)(xf的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos16sin2cos6cos2sin)(xxxxf...3分（只写对一个公式给2分）212sin23x....5分由1)(f，可得332sin......7分所以2sin21cossin......8分63.......9分（2）当Zkkxk,22222，换元法..11即Zkkkx],4,4[时，)(xf单调递增.所以，函数)(xf的单调增区间是Zkkk],4,4[...13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．解：（Ⅰ）()sin2cos212sin(2)14fxxxx．意义……4分因为22T，所以T，1．……6分所以()2sin(2)14fxx．所以()04f………7分（Ⅱ）()2sin(2)14fxx当0,2x时，32444x，无范围讨论扣分所以当242x，即8x时，max()21fx，…10分当244x，即0x时，min()2fx．………13分116、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sinsin()2sin12fxxxx()xR.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23xf，0ππ(,)44x，求0cos2x的值.解:2()2sincos2sin1fxxxx……………………………………1分sin2cos2xx……………………………………2分π2sin(2)4x.和差角公式逆用………………3分（Ⅰ）函数()fx的最小正周期2ππ2T.……………………………………5分令πππ2π22π242kxk≤≤()kZ，……………………………………6分所以3ππ2π22π44kxk≤≤.即3ππππ88kxk≤≤.所以，函数()fx的单调递增区间为3ππ[π,π]88kk()kZ.……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sincos23xfxx，…