2012高考数学一轮复习数列--数列求和课件ppt

邳州市铁富高级中学高三数学组2020年6月17日星期W邳州市铁富高级中学高三数学组数列求和的常用方法一、公式求和法dnnnaaanSnn2)1(2)(111等差数列的求和公式、)1(1)1()1(211qqqaqnaSnn等比数列的求和公式、2333322222)1(321)3(6)12)(1(321)2(;2)1(321)1(3nnnnnnnnnn；、邳州市铁富高级中学高三数学组方法总结：公式求和法:对等差数列、等比数列或可以转化成等差、等比数列的数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解!Ex1.已知数列{an}:①若an=2n+3,求Sn=?,求Sn=?.nna23②若数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组二、分组求和法例1(1)求数列的前n项和.,21,,814,413,212,21nn通项na是若干项的代数和,如：nnna32可以把它按需要拆开!方法总结:分组求和法:将数列的一项分成两项(或多项),然后重新组合,再利用等差、等比数列的前n项和公式进行求解!Ex2求数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的前n项和!数列求和的常用方法：邳州市铁富高级中学高三数学组例2.求数列的前n项和！,212,,167,85,43,21nn分析：该数列可看作等差数列等比数列的积数列,12nn21这里等比数列的公比q=21三、错位相减法错位相减法在等比数列求前n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。错位相减法法步骤如下：1、在的两边同时乘于公比q;nnaaaS212、两式相减:左边为，右边q的同次式相减;nSq)1（3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的各项组成等比数列，可用公式求和!数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组例2.求数列的前n项和！,212,,167,85,43,21nn解析：nnnS21227252321432由1432212232252321nnnnnS21则两式相减：1432212222222222121)1(nnnnS所以：nS2121121211)1n（1212nn21运算整理得：nnnS2323数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆变式:设,求数列的前n项和!nnaaaaa,,4,3,2,4320a分析：这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行!解：1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减：132)1(nnnnaaaaaSa所以：nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得：anaaaannnS1)1()1(12212)1()1(aaannann数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组项和的数列的前求通项为例nnan3211.3分析：)1(22)1(1nnnnan通项)111(2nn四、裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种方法！该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积,分子为常数的分式型数列求和！Ex4、求数列的前n项和!)13)(23(11071741411nn，，，，数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组五、倒序求和法将数列的倒数第k项(k=1,2,3,…)变为正数第k项,然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等)！数列求和的常用方法推导等差数列前n项和的重要方法！邳州市铁富高级中学高三数学组例4、已知lgx+lgy=a,且Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn,求Sn=?解:由Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn,又Sn=lgyn+lg(xyn-1)+…+lg(xn-1y)+lgxn,∴2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+…+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1项=n(n+1)lg(xy)∵lgx+lgy=a,∴lg(xy)=a∴Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2n(n+1)2注:本题亦可用对数的运算性质求解:∴Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2n(n+1)2∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组强化练习题练习1:_________11nsnnn项和的前数列1nn注:关键抓住通项的裂项方式!练习2:___________21)1(nn__________31)2(nn__________________2)1(1)3(nnn___________11)4(nn21121nn31131nn)2)(1(1)1(121nnnnnn1该方法适用于分母为等差数列相邻几项之积,分子为常数的分式型数列求和!邳州市铁富高级中学高三数学组练习3:,2221,,2221,221,21,1)1(12322n数列的前n项和是221nn关键求通项!,654,32,1,2321aaaan中在数列104,10987aa则505强化练习题项的第一个数为提示：第n12)1()1(2111)1(...211nnnnn邳州市铁富高级中学高三数学组,3219,1617,815,4133各项依次为已知数列nana式试写出这个数列通项公12112nnnsn项和前121212nnn,3219,1617,815,413各项依次为变式：已知数列nansn项和前错位相减法各项特征:等差与等比数列对应项的积!1121122125nnn强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组4.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an3n,求数列{bn}前n项和Sn.解:(1)设数列{an}的公差为d,则由已知得3a1+3d=12∴d=2∴an=2+(n-1)2=2n.故数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n得数列{bn}前n项和Sn=23+432+…+(2n-2)3n-1+2n3n①∴3Sn=232+433+…+(2n-2)3n+2n3n+1②将①式减②式得:-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.∴Sn=+n3n+1.3(1-3n)2又a1=2,强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组5、将上题(2)中“bn=an3n”改为“bn=anxn(x≠0)”,仍求{bn}的前n项和.解:令Sn=b1+b2+…+bn,则由bn=anxn=2nxn得:Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn①∴xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1②当x1时,将①式减②式得:(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1.2x(1-xn)1-x∴Sn=-.2x(1-xn)(1-x)22nxn+11-x当x=1时,Sn=2+4+…+2n=n(n+1);综上所述,Sn=n(n+1),x=1时,2x(1-xn)(1-x)22nxn+11-x-,x1时.强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组6、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和Sn=?解:∵通项ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,∴Sn=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)n2(n+1)2=++2n(n+1)2n(n+1)(2n+1)2=.n(n+1)2(n+2)2强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组7、数列{an}中,an=++…+,又bn=,求数列{bn}的前n项的和.n+11n+12n+1nanan+12解:∵an=(1+2+…+n)=,n+112n∴bn==8(-).2n2n+12n+11n1∴Sn=8[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]1213121314n+11n1=8(1-)n+11n+18n=.强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组8、已知数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,nN*),求数列{an}的前n项和Sn.∴=.an-1an2n-32n+1∴Sn=a1+a2+…+an解:∵(2n+1)an=(2n-3)an-1,则=,…,=,=.an-2an-12n-52n-1a2a337a1a215∴=.a1an(2n+1)(2n-1)3∴an=(2n+1)(2n-1)3=(-).3212n-112n+13212n-112n+1=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]13151315173n2n+1=.强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆课堂小结：1.等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列！2.熟练掌握常用的几种数列求和最重要方法！