2012高考数学第一轮复习导数的概念及运算

考纲要求高考展望①了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，掌握求曲线上一点处的切线的方法．②掌握基本初等函数和简单的复合函数的求导公式以及导数的四则运算法则．③掌握导数应用于函数性质研究的方法，特别是研究函数的单调性、极值、最值的导数方法(其中多项式函数一般不超过三次)．④了解定积分的概念和定积分的基本应用，掌握定积分的计算方法和基本性质．⑤了解微积分基本定理，能进行一些函数的积分计算．⑥能正确应用导数和定积分解决简单的实际问题.导数是高中数学中重要的学习内容，是解决实际问题，特别是函数问题的强有力工具．导数在函数中的应用是高考命题的热点，一般以解答题形式呈现；导数的概念和基本运算的考查，多以选择题和填空题形式出现．由于导数应用的广泛性，并为函数问题提供了一般性方法，使其在高考考查中的位置更为重要．导数的命题多与函数、解析几何和不等式有关，命题方向将在求函数的导数、求函数的极值和最值、用导数判断或证明函数的单调性和利用导数解决实际问题等方面拟题．定积分主要考查基本概念和几何意义，求定积分和求曲边梯形的面积是重点.000001.ABCDfxxfxfxfxfx设函数在处可导，则等于．．．．0000000lim[]limxxfxxfxxfxxfxxfx解析：．B22.ABCDfxxbxcfxfx　若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的导函数的图象不经过．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限01123.lim12(11)A2B1C1D2xffxfxxyfxf　已知函数是可导函数，且满足，则过曲线上的点，的切线的斜率是．．　．．00112121 limlim12211B.xxffxfxfxxf，解即，析：故选BB32324.sinA3cosBcosC3sinDcosfxaxfxaxaxaxx已知函数，则．．．．241206(2)stttt解析：，得舍去由．D3215.212(3)0stttts已知物体的运动方程是表示时间，单位：秒，表示位移，单位：米，则瞬时速度为的时刻是秒．6导数的定义0145lim?2tfxxaAfatfattfxfxxafxxaR已知函数在处的导数为，求的值；设函数在上可导，求在处的导数与在处的导数，并判断所求两个导数之间是例1：何关系．0000(4)(5) 1lim(4)()()(5)lim(4)()(5)()limlimttttfatfattfatfafafattfatfafatfatt解析：4050000(4)()(5)()4lim5lim454545.()()2lim()()()()limlim|ttxxxxafatfafatfattfafaAAAgaxgagxfxgaxfaxfafaxfaxxfafxfafxxafxxa设，则．，所以在处的导数与在处的导数互为相反数．本题是考查导数的定义掌握的熟悉程度，要求熟练运用导数的极限式子，掌握极限运算的基本法则，灵活应用导数定义中的极限式子解题．关注式子表达方式的反思小结：同一性．0000012lim?2hfxxxfxAfxhfxhhfxfx设函数在处可导，且，求的值；设偶函数在定义域内处处可导，判断其导函数的奇偶性，拓说展练习1：明理由．0000000000000000000002 1lim2lim2limlim2limlim2223.2limhhhhhhhfxhfxhhfxhfxfxfxhhfxhfxfxhfxhhfxhfxfxhfxhhAAAfxxfxfxxfxx因：为解析fxxfxxfxfxx，所以偶函数的导函数是奇函数．00320000002300 (1)()13332.31216PxyPyyfxxxyxxxxyxxxyx设，，则过点的切线方程为，即，则已知的切线方程为解析：，3211123316023,82yxPxyPPyx已知曲线在点处的切线方程为，求点的坐例标；求过点且与抛物线相：切的直线方程．导数的几何意义200300000002000020000028231222162()22.32(2,868024.3,8)34xxxxPAxyyyfxxxyxxxxyxxxPxxxxPyxxxPy比较得，得，因为点不在抛物线上，故设抛物线上点，处的切线方程为，即，所以因为点在该直线上，所以，解得或故，于是点的所以过点且与抛物线相切的坐直线方程为标为，．408160.xy或000()12xxy函数在处的导数是函数图象在点，处切线的斜率．已知切点求切线方程与已知切线方程求切点坐标是两个不同的问题．前者直接应用几何意义，后者以几何意义为基础．设切点，写出切线方程．由于两切线是同一条直线，对应的系数相等，从而求出切点．这是本题第问的解题思想；第问也是相切的问题，当切线过曲线外一点时，处理方法还是寻反思小结：找切点．2231220,222yxyxPyxx求两抛物线与在交点处的切线所围成的封闭拓图形的面积；求展过点且与曲线相切的直练习：线方程．2211.21,11,11211211214121.yxxyxABAyxyxByxyx因为，所以所以两抛物线有两个交点，．过点的切线方程为和；过点的切线方程为和．四条切线围成一个边长为的菱形，这个菱解形的面积为析：000003200002300032()(2)(23)(23)220..0,2111,1P0,2211AxyyyfxxxyxxxxxyxxxPxxAyxxxyyx设曲线上点，处的切线方程为，即，即因为点在该直线上，所以，则，所以切点的坐标为．所以过点且与曲线相切的直线方程为，即例题3：质点作直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图象过点(1,6)，(2,16)．(1)求质点在t=2秒时的瞬时速度；(2)求质点运动的加速度．221.0.61,62,164216224.4satbtccababasttb设因函数的图象解经过原点，所以又函数图象经过点，，所以，：以析解得，所导数的物理意义442242412.2.244.1244.stvstvttavt故,则所以质点在秒时的瞬时速度为因为，则所以质点运动的加速度为sstsstvtvvtvvtat函数的导数的物理意义：位移函数对时间的导数等于速度，速度函数对时间的导数等于加速度．一般设位移是时间的函数，则是速度反思小结函数，而的导数是加速：度函数．231211s1s2A.B3(20.209)C.D.2stttttRtccccc某质点的运动方程是，则在时的瞬时速度为；时的加速度为设球的半径为时间的函数．若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球的半径成正比，比例系数为成正比，比例系数为成反比，比例系数为成反比，比例拓展练习：卷系数为湖北-1-2D3221111322214413841()682.4243.42D88.4ttttstttsttstVtRtVtRtRtccRtRtccStRtRtRtRtRt，则，因为，所解以，所以所以，析：故选22,510214fxxbxcyfxgxxafxygxaxygxygx已知为偶函数，曲线过点，．若曲线有斜率为的切线，求实数的取值范围；若当时，函数取例：得极值，确定的单调区间．22223222210.2,5251.321.003210412033.(fxxbxcfxfxxbxcxbxcbyfxccgxxafxxaxxagxxaxygxgxxaxaaaa因为为偶函数，故，即有，解得又曲线过点，得，有因为，从而又曲线有斜率为的切线，故有实数解，即有实数解．此时有，解得或所以实数的取解：值范围是析3][3)，，．212211032102.341311101.3(1)0(1)11(1)0(1)3311()0()33xygxgaagxxxxxgxxxxgxgxxgxgxxgxgx当时，函数取得极值，故有，即，解得所以．令，得，当，时，，故在，上为增函数；当，时，，故在，上为减函数；当，时，，故在，上为增函数．222221e.2e(2e)9A.eB2eCeD.442xxyye过原点作曲线的切线，则切点的坐标为；切线的斜率为曲线在点，处的切线与坐标轴所围三角形拓展练的面积为．：．习(1,)e　　eD000001.0()()limlim.12()34xxyfxfxxyyxxyfxxfxfxxxxfxxx导数的概念函数的导数是当时，函数增量与自变量的增量的比值的极限，其中比值是函数的平均变化率，即自变量的增量是一个无穷小的正数；平均变化率的极限存在称瞬时变化率；是在处的一个局部性质，它是一个确定的极限值．求函数在处导数的方法：00000000000()()()limlim.()xxyfxxfxfxxfxyxxfxxfxyxxfxfxxfxx①求函数的改变量；②求比值；③求极限若极限存在，则记为；若极限不存在，则函数在处的导数不存在或函数在处不可导000000000002.()3.()()()yfxxfxyfxxfxyfxfxxxsstststttvtstyfxabyfxabab导数的几何意义和物理意义设函数在处的导数为，其几何意义是：曲线在点，处切线的斜率，切线方程为；如果表示位移对时间的函数，则导数的意义是物体在时刻时的瞬时速度．导函数函数在区间，内每一点的导数都存在，则函数在，内可导，其导数也是，上的函数，00000|()yfxfxyfxfxxxfxfxxfxfxxx称为的导函数，记为．函数的导函数在处的函数值就是在处的导数，即注意并非所有的函数都有它的导函数．21.(0)10()A11B11C11D1(20110)yxaxbbxyabababab