解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答

解析几何_吕林根许子道_第四版_课后习题解答第一章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC,则在BAC中，KL21AC.KL与AC方向相同；在DAC中，NM21AC.NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1)AB、CD;(2)AE、CG;(3)AC、EG;(4)AD、GF;(5)BE、CH.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。§1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？图1—3AFBECO（1）;baba（2）;baba（3）;baba（4）;baba（5）.baba[解]：（1）ba,所在的直线垂直时有baba；（2）ba,同向时有;baba（3）,ba且ba,反向时有;baba（4）ba,反向时有;baba（5）ba,同向，且ba时有.baba§1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简)()()()(bayxbayx．⑵已知3212eeea，321223eeeb，求ba，ba和ba23．⑶从矢量方程组byxayx3243，解出矢量x，y．解⑴aybxbyaybxaxbyaybxaxbayxbayx22)()()()(⑵3132132142232eeeeeeeeba，321321321342)223(2eeeeeeeeeba，3213213217103)223(2)2(323eeeeeeeeeba．2已知四边形ABCD中，caAB2，cbaCD865，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．解cbacacbaABCDEF533)2(21)865(212121．3设baAB5，baBC82，)(3baCD，证明：A、B、D三点共线．证明∵ABbababaCDBCBD5)(382∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．4在四边形ABCD中，baAB2，baBC4，baCD35，证明ABCD为梯形．证明∵BCbabababaCDBCABAD2)4(2)35()4()2(∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN可以构成一个三角形.[证明]：)(21ACABAL)(21BCBABM)(21CBCACN0)(21CBCABCBAACABCNBMAL从而三中线矢量CNBMAL,,构成一个三角形。7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA+OC=OL+OM+ON.[证明]LAOLOAMBOMOBNCONOC)(NCMBLAONOMOLOCOBOA=)(CNBMALONOMOL由上题结论知：0CNBMALONOMOLOCOBOA8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.[证明]：因为OM＝21(OA+OC),OM＝21(OB+OD),所以2OM＝21(OA+OB+OC+OD)所以OA+OB+OC+OD＝4OM.9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明图1-5AGAHAFAC2．证明AGCGFGAFACDHADAFACAHAFAC2．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN．DNADMAANMAMN，CNBCMBBNMBMN，∴BCADMN，即)(21BCADMN，故MN平行且等于)(21BCAD．11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点但OBODOCOAOBOCOAODBCADOBOCBCOAODAD由于)(OCOA∥,AC)(ODOB∥,BD而AC不平行于BD，0OBODOCOA，从而OA=OC，OB=OD。12.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:1OA+2OA+…+nOA＝0.[证明]：因为1OA＋3OA＝2OA,2OA＋4OA＝3OA,……1nOA+1OA＝nOA,nOA＋2OA＝1OA,所以2(1OA+2OA+…+nOA)＝(1OA+2OA+…+nOA),所以(－2)(1OA+2OA+…+nOA)＝0.显然≠2,即－2≠0.所以1OA+2OA+…+nOA＝0.13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：POnPAPAPAn21图1-4证明：021nOAOAOA021POPAPOPAPOPAn即POnPAPAPAn21§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线,,bBDaAZ求.,,,DACDBCAB解：abDAabCDabBCabAB21,21,21,21．设边BC和CD的（2）中点M和N，且qANPAM,求CDBC,。解：PqPPqMCBCPqAC32122,21pqqqpACANCNCD21212222．在平行六面体ABCD-EFGH中，设,,,321eAEeADeAB三个面上对角线矢量设为,,,rAFqAHpAC试把矢量rqpa写成321,,eee的线性组合。证明：2312,eeqAHeepAC，13eerAF，AFAHACa321eee3.设一直线上三点A,B,P满足AP＝PB(－1),O是空间任意一点，求证：OP＝1OBOA[证明]：如图1-7，因为AP＝OP－OA,PB＝OB－OP,所以OP－OA＝(OB－OP),(1+)OP＝OA+OB,图1-7从而OP＝1OBOA.4.在ABC中,设,1eAB2eAC.(1)设ED、是边BC三等分点,将矢量AEAD,分解为21,ee的线性组合;（2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为21,ee的线性组合解：（1）12123131,eeBCBDeeABACBC，2111231323131eeeeeBDABAD，同理123132eeAE（2）因为||||TCBT＝||||11ee,且BT与TC方向相同，所以BT＝||||21eeTC.由上题结论有AT＝||||1||||212211eeeeee＝||||||||212112eeeeee.5．在四面体OABC中，设点G是ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量OCOBOA,,,的分解式。解：G是ABC的重心。连接AG并延长与BC交于PACABACABAPAGACABAP31213232,21同理CBCACGBCBABG31,31COBCABOAAGOAOG31（1）GPBCBAOBBGOBOG31（2）ABCBCAOCCGOCOG31（3）（图1）由（1）（2）（3）得CBCABCBAACABOCOBOAOG31313OCOBOA即OCOBOAOG316．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC，CA，AB中点分别为L，M，N。AL与BM交于1P，AL于CN交于2PBM于CN交于3P，取空间任一点O，则ABCBAOBBMOBBPOBOP313211OCOBOAOBOCOBOAOB3131A同理OCOBOAOP312NMOCOBOAOP313BLC321,,PPP三点重合O三角形三中线共点（图2）（第3页）7．已知矢量ba,不共线，问bac2与bad23是否线性相关？证明：设存在不全为0的,，使得0dc即0232022babba故由已知ba,不共线得0003202与假设矛盾，故不存在不全为0的,，使得0dc成立。所以dc,线性无关。8.证明三个矢量a＝－1e+32e+23e,b＝41e－62e+23e，c＝－31e+122e＋113e共面，其中a能否用b,c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：由于矢量1e,2e,3e不共面，即它们线性无关.考虑表达式a+b+vc＝0，即(－1e+32e+23e)+(41e－62e+23e)+v(－31e+122e＋113e)＝0,或(－+4－3v)1e+(3－6＋12v)2e+(2+2＋11v)3e＝0.由于1e,2e,3e线性无关，故有.01122,01263,034vvv＋－解得＝－10，＝－1，v＝2.由于＝－100，所以a能用b,c线性表示a＝－101b＋51c.9．证明三个矢量accbba,,共面。证明：0accbba三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。OC－OB＝(OA－OB),所以BC＝BA,从而BC//BA.故A，B，C三点共线.§1.5标架与坐标3.在空间直角坐标系{O;kji,,}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.[解]：M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,－c)，M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a,b,c)，M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b,c)，M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，M(a,b,c)关于y轴的