有限元分析思想

有限元分析FiniteElementAnalysis课程目标1)了解什么是有限单元法、有限单元法的基本思想。2)学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元等概念。3)初步学会使用商用有限元软件分析简单工程问题。4)了解有限元软件的基本结构和有限单元法当前的进展情况。课程评估–作业25%–随堂测验25%–专题分析与报告50%课程进度安排–第1~6周，课堂教学–第7~10周，学习ANSYS与上机练习–第12~15周，课堂教学–第16周，课程总结/交流参考书目1.王勖成,邵敏编著.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,19972.朱伯芳著.有限单元法原理与应用（第2版）.北京:中国水利水电出版社,19983.SaeedMoaveni.FiniteElementMethodTheoryandApplicationwithANSYS.NewJersey:Prentice-Hall,Inc.,19994.O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.Thefiniteelementmethod(5thed).Oxford;Boston:Butterworth-Heinemann,20005.郭和德编.有限单元法概论，清华大学，19981有限单元法简介1.1有限单元法的形成1.2有限单元法的基本思路1.3有限单元法的计算步骤1.4有限单元法的进展与应用1.1有限单元法的形成两类典型的工程问题第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。平面桁架结构，由6个承受轴向力的“杆单元”组成。1889年建成的Effiel塔，由18036个部件组成大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计，由曾攀教授完成。第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。热传导问题的控制方程与换热边界条件如下：tTcQzTzyTyxTxTThnTλf300MW汽轮机低压转子淬火两类问题的对比第一类问题的研究对象称为离散系统。离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。第二类问题的研究对象称为连续系统。可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际的工程问题，需要用近似算法求解。有限单元法形成的背景在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（FiniteElementMethod)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1956年，M..J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。1960年，R.W.Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（FiniteElement）这一术语从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。有限单元法的数学基础（1）数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。有限单元法的数学基础（2）1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国学者的贡献–陈伯屏（结构矩阵方法）–钱令希（余能原理）–钱伟长（广义变分原理）–胡海昌（广义变分原理）–冯康（有限单元法理论）20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷1.2有限单元法的基本思路将连续系统分割成有限个分区或单元用标准方法对每个单元提出一个近似解将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。自重作用下等截面直杆的解受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。)()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdL)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()()(xLEAqdxdux)(xLAqExx自重作用下等截面直杆的材料力学解答自重作用下等截面直杆的有限单元法解答1）离散化如图所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。2）用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。)()(1iiiiixxLuuuxu第i结点的位移iuix第i结点的坐标iiiiLuudxdu1第i个单元的应变iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1应力内力3）把外载荷集中到节点上把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上4）建立结点的力平衡方程2)(11iiiiLLqNN对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：1iiiLL令221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuu)(2)()(11121iiiiiiiiLLqLuuEALuuEA根据约束条件，01u对于第n+1个结点，第n个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡，2nnqLNEAqLuunnn221建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。1.3有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分（离散化）单元分析整体分析1.3.1网格划分对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。1.3.1网格划分通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron）或六面体（Hexahedron）单元的网格四面体4结点单元六面体8结点单元1.3.1网格划分三维实体的四面体单元划分三维实体的六面体单元划分1.3.1网格划分通常把平面问题划分成三角形（triangular)或四边形(quadrilateral)单元的网格三角形3节点单元四边形4节点单元1.3.1网格划分平面问题的三角形单元划分平面问题的四边形单元划分1.3.2单元分析弹性力学问题的单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。1.3.2单元分析单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。1.3.2单元分析单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移、结点力向量（vector）mmjjiievuvuvummjjiieVUVUVUF单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示eeeKF1.3.3整体分析对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。1.3.3整体分析i结点的结点力：eeiiiiUUUU)()3()2()1(eeiiiiVVVV)()3()2()1(i结点的平衡方程：iyeeieixeiPVPU)()(1.4有限单元法的进展与应用1.4.1主要研究领域与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。主要的研究领域有：–计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。–高精度单元–多物理场耦合与复杂材料模型目前使用较多的通用有限元软件如下表所列软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制，由MSC维护开发MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件一些专用的有限元软件如下表所列软件名称简介Deform金属体积成形分析Autoform金属板料成形分析DYNAFORM金属板料成形分析SysWeld焊接与热处理分析MSC中国中国http：//://://://://://飞箭公司的有限元程序自动生成系统FEPG应用实例有限单元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学电磁场流体力学转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/Nastran完成）金属体积成形过程的分析（用Deform软件完成）型材挤压成形模拟T形锻件的成形模拟焊接残余应力分析（用Sysweld完成）焊接过程的温度分布与轴向残余应力结构与焊缝布置复杂形状工件的组织转变预测（用NSHT3D完成）淬火3.06min时的温度、组织分布