有限元第7章-流体流动问题的有限元法

7流体流动问题的有限元法本章应用加权余量法，将求解域的微分方程，转化为积分表达式，然后通过求积分的极值，找到原问题的解。7-1问题的提出如果可以找到与微分方程对应的泛函积分表达式，则可以通过变分原理，建立有限元格式。但是以下两种情况没有泛函：（1）解函数在求解域不连续或不可导；（2）无法找到与微分方程相对应的泛函表达式。描述稳态不可压缩流体流动的微分方程就没有与之对应的泛函表达式。而流体流动问题却是工程中经常遇到的问题（1）车辆高速运行时的气动稳定性；（2）两列高速运行的列车会车时的压力波动；（3）列车进入隧道时的压力波动；（4）建筑物的风载荷；（5）室内的通风与空调；（6）桥梁的风致振动；（7）船舶的运行阻力；（8）飞机的升力、阻力。不论是那种原因，如果找不到与微分方程对应的泛函表达式，那么就无法利用变分原理建立有限元的计算格式。这时我们只有寻求另外的途径。这个途径就是：加权余量法。二加权余量法加权余量法的基本思想：通过使试探函数与真值的加权误差在求解域内的总和为零，以求得满足微分方程的近似解。设某物理问题的控制微分方程及其边界条件分别为上的边界在域内在域Sgf00φ为待求函数。如果φ无法或不易直接求解，可选一个试探函数式中ci—待定常数；φi—试探函数项。将试探函数带入控制微分方程及其边界条件，一般来讲不可能正好满足方程，在域Ω内和边界S上会产生误差，即式中R和Rb称为余量（或残数，残差，残值）。niiic1~上边界在域内在域SRgRfb~~加权余量法的基本思想：在域Ω内和/或边界S上寻找n个线性无关的函数δWi(i=1,2,…,n)，使余量R和Rb在加权求和的意义上等于零，即这里δWi称为权函数。加权余量法所假设的试探函数并不能满足微分方程及其边界条件，但是当加权的试探函数与真值的误差（余量）在求解域上积分为零时，那么试探函数就在总体上满足微分方程及其边界条件。当n足够大时，试探函数就趋近于真解。0,0SibidWRdWR介绍两种常用的权函数。1最小二乘加权余量法设有满足边界条件的试探函数带入控制微分方程将产生余量如果希望余量R在最小二乘的意义下为最小（即令R的平方和为最小），则构造niiic1~~fRdRcIi2)(使比较可知，权函数通过求解可求出ci，进而得到。nidcRRdRcccIiiii,2,1,02)(20dWRiiicRWnidcffdcRRii,2,1,0~~~2伽辽金加权余量法如果选用试探函数中的试探函数项φi作为权函数δWi，就成为伽辽金加权余量法。即在许多物理问题控制微分方程的有限元法求解过程中，都采用伽辽金加权余量法推导有限元计算格式。niiic1~nidfdRdWRiii,2,1,0~7-2二维流体流动的有限元计算格式二维稳态可不压缩流体流动方程由连续方程和动量方程描述方程中的待求变量为流体速度u,v和压力p。22222222220yvxvxpyvxuvyuxuxpyuvxuyvxu根据有限元法的计算思路，首先选取插值函数来近似描述速度u,v和压力p在单元内的变化情况。式中[N]—单元形状函数；ui,vi,pi—单元节点处的速度和压力值。PNpNpVNvNvUNuNuTmiiiTmiiiTmiii111这里的插值函数，就作为加权余量法中的试探函数；其中的形状函数，就作为加权余量法中的权函数。0202022222222)()()(dxdyyVNxVNyPNyVNvxUNvxVNuNdxdyyUNxUNxPNyUNvyVNuxUNuNdxdyyVNxUNNTTTTTTTTTTTTTTeee经过推导和简化，可得单元方程为或其中分别为单元刚度矩阵、单元节点列向量和单元节点受到的来自“铰链”的“节点力”。0021212222111211FFPVUCCCKKCKKTT)()()(eeeFK0,,021)()(212222111211)(FFFPVUCCCKKCKKKeeTTe)()()()()(222221,2eeeeeSTSTTTTTTTTdyxUNNdxPNNyUNNFdxdyNyNCdxdyyNyNxNxNyNNvxNNuKdxdyxNNvK)()()()()(111211,,2eeeeeSTTSTTTTTTTdyPNNxUNNdxyUNNFdxdyNyNCdxdyyNNuKdxdyyNyNxNxNyNNvxNNuK将在求解区域内分别按节点号叠加，就可以构成整个流场的有限元计算的总体方程)()()(eeeFK和、求解区域单元总数。—用。按节点号叠加的总外作—；和压力求节点速度按节点号叠加的总体待—刚度矩阵；按节点号叠加的总流场—其中01)(1)(1)(000,EFFpvuKKFKEeeEeeEee7-3流场有限元分析的几个特殊问题1速度和压力插值函数的阶次。速度插值函数要高于压力一阶，否则方程会出现“病态”。2主对角线元素为零。采用罚函数法，将压力用速度表示。求出速度后，再计算压力。3刚度矩阵不对称。原来介绍的压缩存储方法全部没有用。4非线性方程组需要迭代计算。小结：（1）本章讨论了利用有限元法求解非结构问题的又一个例子—流体流动问题的计算。所用方法为加权余量法，通过将试探函数带入控制微分方程，基于使所产生的误差（余量）在加权平均的意义上等于零的思想，来推导该控制方程的有限元计算格式。（2）本章简要介绍了加权余量法的基本概念，最小二乘加权余量法中权函数的计算，以及伽辽金加权余量法中权函数的确定。对于无法利用变分原理，即找不到等价的泛函极值问题的控制微分方程有限元求解问题，一般来讲，都可以利用加权余量法推导其有限元计算格式。（3）本章简述了二维稳定流场问题的有限元计算格式的推导思路，同时涉及了流场有限元计算的一些特殊问题，计有•流场速度插值函数与压力插值函数不同阶问题；•流场有限元方程系数矩阵的“病态”问题；•流场有限元方程系数矩阵的非对称性问题；•流场有限元方程的非线性问题。