对勾函数绝对经典

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，。当x0时，。即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。a0b0a0b0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222xxxxy的最小值。解：令322xxt，则22)1(2xttttty112根据对号函数tty1在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当2t时y有最小值223。此时x=-1.2、求函数),(sin2sinZkkxxxy的单调区间，并求当),0(x时函数的最小值。解：令t=sinx,对号函数tty2在（0，2）上是减函数，故当]2,0(x时sinx是增函数，所以xxysin2sin在]2,0(上是减函数。同理，xxysin2sin在),2(上是增函数，由于函数xxysin2sin是奇函数，所以函数xxysin2sin在)0,2(上是减函数，在)2,(上是增函数，由周期性，函数xxysin2sin在每一个区间))(2,22(Zkkk上是减函数，在每一个区间))(22,2(Zkkk上是减函数；函数xxysin2sin在每一个区间))(2,22(Zkkk上是增函数，在每一个区间))(232,2(Zkkk上是增函数。当),0(x时]1,0(t，当t=1时即2x时y有最小值3。20(本小题12分)已知函数f(x)=ax2+1x.(1)在a0时求f(x)的单调区间(不必写过程);yXOy=ax(2)若a0,x1+x20,x2+x30,x3+x10,|xi|1a(i=1,2,3),求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)2a.解：整理得：f(x)=ax+1x(1)当a0时,f(x)的减区间为(−,0)和(0,+);当a0时,f(x)的减区间为(−1a,0)和(0,1a),增区间为(−,−1a)和(1a,+)………5分(2)证明:由条件知：x1,x2,x3中至多一个负数.………6分(ⅰ)若x1,x2,x3都为正数,由(1)可知|xi|1a时,f(|xi|)f(1a)=2a(i=1,2,3)f(x1)+f(x2)+f(x3)6a2a………9分(ⅱ)若x1,x2,x3中有一负数,不妨设x30.∵x2+x30且|x3|1a,x2−x31af(x2)f(−x3)=−f(x3)(∵f(x)为奇函数)f(x2)+f(x3)0f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x1)f(1a)=2a………12分综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)2a.………13分