2013年四川高考文科数学试卷及答案

2013四川文科数学第1页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝()．A．B．{2}C．{－2,2}D．{－2,1,2,3}2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()．A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．A．AB．BC．CD．D4．(2013四川，文4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则()．A．p：x∈A,2x∈BB．p：xA,2x∈BC．p：x∈A,2xBD．p：xA,2xB5．(2013四川，文5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()．A．23B．2C．3D．16．(2013四川，文6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ππ0,22的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，π3B．2，π6C．4，π6D．4，π37．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，2013四川文科数学第2页所作的频率分布直方图是()．8．(2013四川，文8)若变量x，y满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()．A．48B．30C．24D．169．(2013四川，文9)从椭圆22221xyab(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()．A．24B．12C．22D．3210．(2013四川，文10)设函数f(x)＝exxa(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是()．A．[1，e]B．[1,1＋e]C．[e,1＋e]D．[0,1]1．答案：B解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．2．答案：D解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3．答案：B解析：设z＝a＋bi，则共轭复数为z＝a－bi，2013四川文科数学第3页∴表示z与z的两点关于x轴对称．故选B．4．答案：C解析：原命题的否定是x∈A,2xB．5．答案：D解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－3y＝0的距离d＝213＝1.故选D．6．答案：A解析：由图象知函数周期T＝211π5π1212＝π，∴ω＝2ππ＝2，把5π,212代入解析式，得5π22sin212，即5πsin16.∴5π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，φ＝π3＋2kπ(k∈Z)．又ππ22，∴φ＝π3.故选A．7．答案：A解析：由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B．故选A．8．答案：C解析：画出可行域，如图．联立8,24,xyyx解得4,4.xy即A点坐标为(4,4)，由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8，∴a－b＝24.故选C．9．答案：C解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca，∵AB∥OP，∴2bbaca.∴b＝c.∵a2＝b2＋c2，∴22212cea.2013四川文科数学第4页∴22e.故选C．10．答案：A解析：当a＝0时，f(x)＝exx为增函数，∴b∈[0,1]时，f(b)∈[1，e1]．∴f(f(b))≥e1＞1.∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，故D错；当a＝e＋1时，f(x)＝ee1xx，当b∈[0,1]时，只有b＝1时，f(x)才有意义，而f(1)＝0，∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故B，C错．故选A．第二部分(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，文11)lg5lg20的值是__________．12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO.则λ＝__________.13．(2013四川，文13)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.14．(2013四川，文14)设sin2α＝－sinα，α∈π,π2，则tan2α的值是__________．15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．11．答案：1解析：lg5lg20lg(520)lg1001.12．答案：2解析：由平行四边形法则知AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.13．答案：36解析：由基本不等式可得4x＋ax≥24axx＝4a，当且仅当4x＝ax即2ax时等号成立，∴32a，a＝36.14．答案：3解析：∵sin2α＝－sinα，α∈π,π2，2013四川文科数学第5页∴2sinαcosα＝－sinα，cosα＝12.∵α∈π,π2，∴2π3，4π23.∴tan2α＝4πtan3＝3.15．答案：(2,4)解析：由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上，所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点．直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0，∴20,60,xyxy解得2,4.xy即所求点的坐标为(2,4)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．解：设该数列的公比为q，由已知，可得a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.所以，数列的前n项和Sn＝312n.17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝35.(1)求sinA的值；(2)若42a，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝35，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝35.则cos(A－B＋B)＝35，即cosA＝35.又0＜A＜π，则sinA＝45.2013四川文科数学第6页(2)由正弦定理，有sinsinabAB，所以，sinB＝sin22bAa.由题知a＞b，则A＞B，故π4B.根据余弦定理，有2(42)＝52＋c2－2×5c×35，解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝22.18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)．(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输2013四川文科数学第7页出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作DE⊥AC于E，因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C．由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝32AD＝32.又11AQCS＝12A1C1·AA1＝1，所以11AQCDV＝11DAQCV＝13DE·11AQCS＝1331326.2013四川文科数学第8页因此三棱锥A1－QC1D的体积是36.20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且222211||||||OQOMON，请将n表示为m的函数．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞