去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法周健良绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢？下面介绍几种去绝对值符号的常用方法.一、用绝对值的定义例1已知1＜a＜3，求|1-a|+|3-a|的值.分析由1＜a知1-a是负数，由a＜3知3-a是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号.解∵1＜a＜3，∴1-a＜0，3-a＞0，故|1-a|+|3-a|=a-1+3-a=2.例2计算|2131|+|3141|+|4151|+…+|91101|解原式=101915141413131215210121.评析绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数.二、用绝对值的性质例3已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的值.解∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4.①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7；②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1；③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1；④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7.例4已知|a-1|+|ab-2|=0,求2006200612211111bababaab的值.解∵|a-1|+|ab-2|=0,∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2.∴原式=200820071541431321211=2008120071514141313121211=20082007200811.评析互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号.三、用数形结合例5数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|b|.解由图示可得：b＜0，c＞a＞0，∴a+c＞0.原式=a+c-a+（-b）=c-b.评析在数轴上，有关的点所对应的数的符号一目了然，并且知道其到原点的距离的大小.透过图形，可以看清绝对值符号里代数式的值的符号，故能去绝对值符号.四、用分段比较例6比较a、|a|、-|a|、|-a|、-|-a|的大小.解①当a=0时，a=|a|=-|a|=|-a|=-|-a|=0；②当a＞0时，a=|a|=|-a|＞-|a|=-|-a|；③当a＜0时，a=-|a|=-|-a|＜|a|=|-a|.例7求代数式|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值.分析代数式中有三个绝对值的符号，x分别取三个特殊值代入计算，比较结果，便可得出结论.解①当x=-1时，原式=|-1+1|-|-1+2|+|-1-3|=0-1+4=3；②当x=-2时，原式=|-2+1|-|-2+2|+|-2-3|=1-0+5=6；③当x=3时，原式=|3+1|-|3+2|+|3-3|=4-5+0=-1.综上所述，|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值是-1.评析最小的绝对值是0.由几个绝对值的和、差组成的代数式，若求其最小值，则应分别令各绝对值为0（称为分段），求出相应的字母的值后，再分别代入原代数式，计算结果.通过比较，得出结论.