巧用“三线合一”证题

失败是成功之母---^巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高。求证：AD垂直平分EFA12EFBDC图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有12，所以只要证AEF为等腰三角形即可证明：DEABDFAC，12，ADADRtAEDRtAFDAEAF又12AD垂直平分EF例2.如图2，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：ABAK3AKMEBDC图2分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有ABAC，ADBC，所以就想到用“三线合一”。证明：过点D作DE//CK交BK于点EABACADBC，BDDCBEEK，AMMDAKKE，AKKEEBABAK3失败是成功之母---^二.先连线，再用“三线合一”例3.如图3，在ABC中，A90，ABAC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PEAB，PFAC，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）DEDFAEFBDPC图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为BDE或PDE的一边，DF为DFP或DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现AEDCFD或BDFADF问题得证。（2）欲证DEDF，只要证ADEADF90，即可但由（1）已证出ADECDF又ADFCDF90，故问题解决证明：连结AD。D是BC的中点BAC90，ABACADBDBC12DA平分BAC，ADBCDABDACBAC1245B45ABACPFACPEAB，，四边形PEAF是矩形PEFABPEBBEPEAF45又ABACECF，又EADFCDADDC45，AEDCFDDEDF（2）AEDCFDADECDF又ADFCDF90ADFADE90即DEDF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”失败是成功之母---^，已知四边形ABCD中，ACBADB90，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MNCDCDAMB图4N分析：由于MN与CD同在MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证MCD为等腰三角形，由于MD、MC为RtADB、RtACB斜边AB上的中线，因此MDMCAB12，所以，问题容易解决。证明：连结DM、CMACBADB90，M是AB的中点DMCMAB12CMD是等腰三角形又N是CD的中点，MNCD例5.如图5，ABC中，BC、CF分别平分ABC和ACB，AEBE于E，AFCF于F，求证：EF//BCAFE1BC图5M2N分析：由BE平分ABC、AEBE容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰BMA，E为AM的中点；同理可得等腰CAN，F是AN的中点，故EF为AMN的中位线，命题就能得证。证明：延长AE、AF分别交BC于M、N12，AEBEBAM为等腰三角形即ABMB，AEEM同理AFFNEF为AMN的中位线EFMNEFBC////，失败是成功之母---^年级初中学科数学版本期数内容标题巧用“三线合一”证题分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词巧用“三线合一”证题栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入韩秋荣一校康纪云二校审核