电工与电子技术基础第04章电路的暂态分析

第四章电路的暂态分析远程教育学院2第4章电路的暂态分析4.3RC电路的暂态分析4.4一阶线性电路暂态分析的三要素法4.5RL电路的暂态分析4.1电路的过渡过程4.2换路定律和电压电流初值确定34.1电路的过渡过程SUSU0=t0=tR1R2RC−+Cu−+2uiCutOSU≈t2S12RURR+2u(b)O动态电路电阻电路•换路无过渡过程稳态暂态稳态稳态稳态时域分析：列微分方程；定初值；解微分方程主要内容：电路暂态过程及时域分析的基本概念。44.1电路的过渡过程∵L储能：212LLWLi=换路:电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电压改变或参数改变不能突变∵C储能：2e12CWCu=产生暂态过程的原因：由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)产生暂态过程的必要条件：CLui⎫⎬⎭51电容电压uC和电感电流iL初始值的确定∫∞−==tCCitCutqξξd)()()(设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有∫∫∫++−−∞−∞−+++===0000d)(d)(d)()0()0(ξξξξξξCCCCiiiCuq电容电荷的初始值可表示为∫+−+==−++00d)()0()0()0(ξξCCiqCuq等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-)，故)0()0(−+=qq)0()0(−+=CCuu若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分为零，于是得主要内容：换路定律，计算电路量的初始值。4.2换路定律和电压电流初值确定62除uC、iL之外各电压电流初始值的确定于是电路将成为电阻电路，其它初值可用分析直流电路的各种方法来求解依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有：∑=+0)0(i∑=+0)0(u)0()0(++=RRRiu)0()0(++=RRGui)0()0(−+=CCuu)0()0(−+=LLii)0()0(−+=ΨΨ)0()0(−+=LLii电感：对偶原理KVLKCL电阻元件电感元件电容元件或)0()0(−+换路定律=qq)0()0(−+=CCuu→相当于直流电流源→相当于直流电压源4.2换路定律和电压电流初值确定74.2换路定律和电压电流初值确定求初始值iL(0+)、uC(0+)、u1(0+)、uL(0+)及iC(0+)。Ω4Ω2++−−)0(+Lu)0(1+uΩ6)0(2+i)0(+Li)0(+Ci)0(+CuV12V12Ω4Ω2+++−−−Lu)0(=tSL1uΩ62iLiCiCCut=0+时的等效电路如图(b))0(4V12)0()2141(1++−Ω=Ω+ΩLiuV2.7)0(6)0(A2.1)64(V12)0(=×Ω==Ω+=−−−LCLiui开关在接通之前，电路是直流稳态。于是求得V2.7)0()0(A2.1)0()0(====−+−+CCLLuuii由换路定律得V4.2)0(1=+u1(0)(0)(0)4.8V;LCuuu+++=−=−06)0()0()0()0()0(2=Ω−=−=+++++CLLCuiiii求得例4.2.1图(a)所示电路，在t0时处于稳态，t=0时开关接通。解：84.2换路定律和电压电流初值确定(0)(0)CLui++、)0(+u例4.2.2图示电路t0时处于稳态，t=0时开关断开。求初始值及开关两端电压++−−CuΩ6Ω8Ω3u)0(S=tLLiΩ5V45i解:t0时电容开路，电感短路，3Ω与6Ω电阻并联，所以A3)363685(V45)0(=Ω+×++=−iA2)0(366)0(=×+=−−iiLV24)0(8)0(=×=−−iuC(0)Cu+=(0)Li+=由换路定律得由KVL得开关电压V8V)2824()0(8)0()0(−=×+−=×+−=+++LCiuu9一阶电路主要内容:RC电路零输入、零状态和全响应；理解时间常数。CSCiRCRCiiCu+−CCSCd1duCuitR+=CC0(0)uU+=CCSCd11duuitRCC+=LOCuRLLiLLOCLLOCLL0ddd11d/(0)iLRiutiiutLRLiL++=+==只含一个（或可化为一个）动态元件的电路，其暂态过程可用一阶常微分方程描述的电路→一阶电路4.3RC电路的暂态分析10根据KVL列出t0时电路的微分方程0dd=+=+−=+−CCCCCRutuRCuRiuu零输入响应换路后无独立源作用，仅由储能元件原始储能引起的响应.（a）Cu0Uab)0(=tSRC+−(b)+Cu−RCiC−+Rut00)0()0(UuuCC==−+根据换路定律4.3RC电路的暂态分析1101=+RCp特征方程0dd=+=+−=+−CCCCCRutuRCuRiuuRCp1−=RCtptCAAu−==ee通解特征根00e)0(UAAuC===+代入初值Cu=0de(0)dtCRCCuUiCttR−=−=0)0()0(UuuCC==−+0(0)ee(0)ttRCRCCuUt−−+=≥解得CuR=t=0处不连续4.3RC电路的暂态分析12时间常数(单位：s)RC=τ可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积。令0(0)ee(0)ttRCRCCCuuUt−−+==≥0de(0)dtCCRCCuuUiCtRtR−==−=0…0.007U00.018U00.05U00.135U00.368U0U0uC(t)∞…5τ4τ3τ2ττ0tτ对放电时间的影响τ对放电时间的影响——经过3τ∼5τ的时间,放电基本结束。uC和iC的变化曲线Ot0UCuOtCiRU04.3RC电路的暂态分析13时间常数τ的理解+Cu−RCiC−+Ru放电过程中的能量传递2e/2CwCu=电容储能越多C越大τ越大RupR/2=R越大电阻消耗功率越小放电时间越长2000020221d)e(d)(d)(CUtRRUtRtittpRCtCR===∫∫∫∞∞∞−+++电阻所消耗的能量222e0111(0)(0)(0)222CCWCuCuCU++−===电容的原始储能1τ2τ3τ0368.0UtOCu0U不同τ值的uC变化规律321τττ4.3RC电路的暂态分析14例4.3.1图示电路中C为高压电容器，且已充电完毕，uC(0-)=10kV。设t=0时，开关由端子1打到端子2，15分钟后，uC降低为3.2kV，问(1)再经过15分钟后电容电压降为多少？(2)如果电容C=15μF，R=？s9001560min15=×==tVe10e)0()(-4-ττttCCutu==+解:全过程为零输入响应306015601560444(1)(30)10e10ee100.320.321024VCuτττ×××−−−==×=××=Ω==M66.52CRττt−×=×e1010102.333900789.87sln0.32RCτ==−≈900e0.32τ−=→(2)Cu+−SUCR4.3RC电路的暂态分析15接例4.3.1图示电路中C为高压电容器，且已充电完毕，uC(0-)=10kV。设t=0时，开关由端子1打到端子2，15分钟后，uC降低为3.2kV，问(3)需要多长时间电容电压可降至30V以下？(4)若C不变，R变为0.2Ω，电容最大放电电流是多少？若认为t=5τ时放电完毕，那么放电的平均功率是多少？3790ln4589s1000−=447903010e10etttτ−−==⇒=s103102.01566−−×=××=′τ61-1043()10eVtCut×=61-1043d()510eAdtCCuitCt×==−×A105)0(4max×==CCii2686'60.5(0)151010/5010W50MW510310CCuPWtτ−−−××====×=××(3)(4)Cu+−SUCR4.3RC电路的暂态分析16零状态响应:电路中储能元件的原始储能为零［即uC(0-)=0，iL(0-)=0］，仅由独立电源作用引起的响应。SRCuuU+=uR=Rii=CduC/dt4.3RC电路的暂态分析KVL方程SddCCuRCuUt+=其通解ph()()()CCCututut=+0)0()0(==−+CCuuSU−+RuS(0)t=//SSSe(1e)ttUUUττ−−=−=−/SetUAτ−=+/Sd()edtCCuUitCtRτ−==/()()[1e]tCCutuτ−=∞−/S()()etRCutRitUτ−==17//SSSe(1e)ttUUUττ−−=−=−/Sd()edtCCuUitCtRτ−==()CRiti==/SS()etCUutURRτ−−=22SS01ed2tRCURtCUR−∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫20()dRRWitRt∞==∫eW=充电结束SU−+Ru4.3RC电路的暂态分析电容电压电流变化曲线暂态分量稳态分量184.3RC电路的暂态分析US0.632US1τ2τ3τ123τττtCuτ表示uC从初始值上升到稳态值的63.2%时所需的时间。1SS()(1e)63.2%CuUUτ−=−=τ的物理意义0.9980.998UUSStt00Cu000.6320.632UUSS0.8650.865UUSS0.9500.950UUSS0.9820.982UUSS0.9930.993UUSSO2ττ6τ4τ5τ3ττ越大，曲线变化越慢,达到稳态时间越长。Cu194.3RC电路的暂态分析全响应:由独立源和储能元件的原始储能共同作用引起的响应。−+CuCRSu0=t0U=SdduutuRCCC=+求全响应0dd=′+′CCutuRC0)0()0(UuuCC=′=′−+SdduutuRCCC=′′+′′0)0()0(=′′=′′−+CCuu仅uC(0-)作用仅us作用零输入零状态S)()(dduuuuutRCCCCC=′′+′+′′+′0)0()0(UuuCC=′′+′+++)()()(tututuCCC′′+′=全响应为(0)0Cu−RC电路的全响应≠(0)Cu+=204.3RC电路的暂态分析0(0)eettRCRCCuU−−+=/S(1e)tRCU−−零输入响应零状态响应•全响应)()()(tututuCCC′′+′=＋全响应＝SdduutuRCCC=+分析：全响应、零输入响应和零状态响应中都含有自由分量；•零输入响应中只有自由分量；•零状态响应中一般既含强制分量，也含自由分量。0SS0S()e(1e)()etttRCRCRCCutUUUUU−−−=+−=+−21例4.3.2图示电路t0时处于稳态,t=0时换路,求t0时电压uC。.)0(S=tΩ3Ω6Ω8F02.0V18V9+−Cu(0)(0)6VCCuu+−==/()(0)etCCutuτ−+′=由独立源和储能元件的原始储能共同作用引起的响应→全响应6(0)9V6V63Cu−=×=+t0时电容处于开路t0后由换路定律US=–18V，接入电路中Ω=Ω+×+=10)36368(iRs2.0i==CRτ等效电阻时间常数)()()(tututuCCC零输入′′+′=/()()()etCCCutuuτ−=∞−∞零状态V12)V18(366)(−=−×+=∞Cu5(1212e)Vt−=−+56eVt−=5(1218e)Vt−=−+)()()(tututuCCC′′+′=全响应4.3RC电路的暂态分析224.4一阶电路暂态分析三要素法戴维南等效诺顿等效KVL方程初始条件⎪⎩⎪⎨⎧==++0oc)0(ddUuuutuRCCCCKCL方程初始条件⎪⎩⎪⎨⎧==++0sc)0(ddIiiitiGLLLL0d()()()d(0)ftftgttfFτ++==统一表示为激励响应时间常数一阶电路的一般形式主要内容：一阶电路微分方程解的普遍形式即三要素公式。CL230(0)d()()()dfFftftgttτ+=+=通解为/p()etftAτ−=+Aff+=++)0()0(p)0()0(p++−=ffA令t=0+τ/ppe)]0()0([)()(tfftftf−++−+=代入得利用响应的初始值f(0+)、时间常数τ和特解fp(t)(通常用强制分量作为特解)来