高等数学强化辅导课件

定积分的概念定积分的性质中值定理微积分基本公式定积分的换元积分定积分的分部积分广义积分与函数定积分的应用定积分第一节定积分概念定积分概念定积分引例：曲边梯形的面积设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。求由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ab)所围图形的面积。(i)分割：(ii)作积：(iii)求和：iiiiiixfAinixx)(,,2,1],[1似值个小曲边梯形面积的近得第任取niiiniixfAA11)(xyoy=f(x)ba1110.,,2,1],,[1],[iiiiinnxxxnixxnbxxxanba记个小区间得，个分点内插入在iiixx11.定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，iininxfAxx)(lim},max{101，则曲边梯形面积令(iv)取极限：(i)分割：(ii)作积：(iii)求和：iiiiixfnixx)(,,,2,1],[1作乘积任取niiixfS1)(1110.,,2,1],,[],[iiiiinnxxxnixxnbxxxaba记个小区间得，内插入若干个分点在在为函数则称该极限总趋于确定的极限时，和上点怎样取法，当分法，也不论在小区间怎样，若不论对记)(,0],[],[},max{11xfIISxxbaxxiin(iv)取极限：Y即上的定积分，记作,)(],[badxxfba这里f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a,b叫做积分下限和上限，[a,b]叫做积分区间。注意:(i)bababaniiiduufdttfdxxfbaxfIxf)()()(],[)()(1记法无关，即有关，而与积分变量的及积分区间仅与被积函数的极限存在时，其极限当和iinibaxfIdxxf)(lim)(10(ii)上可积。在上的定积分存在，也称在的积分和。若通常称为和],[)(],[)()()(1baxfbaxfxfxfniii2.可积的充分条件Y定理1：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2：若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3.定积分的几何意义数和。之间的各部分面积的代、的图形及两条直线轴、函数介于bxaxxfxdxxfba)(:)(xyoy=f(x)ba+-+4.例子Y10102dxedxxx及应用定义计算解：316)12)(1(1lim1lim1)(lim1lim)(lim),,,2,1(,1]10[]1,0[)()1(312321120110021022nnnninnninxfdxxnininxndxxxxfnninninniiiiniii有取等分，则，将存在。上连续，故在Y解：111lim)1(1)(11lim1lim1lim1lim)(lim),,,2,1(,1]10[]1,0[)()2(11111110110010eeneeeenennenexfdxenininxndxeexfnnnnnnnnininnininniiinixiixxi有取等分，则，将存在。上连续，故在第二节定积分的性质定积分的性质规定：性质1：.)()()2(;0)()1(baabbadxxfdxxfbadxxfba时，当时，当.)()()]()([bababadxxgdxxfdxxgxf性质2：.)()(babadxxfkdxxkf性质3：.)()()(cabcbadxxfdxxfdxxf性质4：.1babaabdxdx性质5：.)0)(,0)(],[babadxxfxfba（则上，如果在推论：babababababadxxfxfxfbaxfxfbadxxfxfbaxfdxxfdxxfbadxxgdxxfxgxfba.0)(,0)(,0)(],[)()4(.0)(],[,0)(,0)(],[)()3(.)()()2(.))()(),()(],[)1(则且上连续，在若上则在且上连续，在若（则上，如果在性质6：（估值定理）).()()()(],[)(baabMdxxfabmbaxfmMba则上的最大值及最小值，在区间分别是函数及设性质7：（定积分中值定理）).()()()(],[],[)(baabfdxxfbabaxfba，使下式成立则至少有一点上连续，在闭区间如果例1根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：1010101032.)1ln(21dxxxdxdxxdxx与）（；与）（解：.0]10[.]1,0[)1(101032321010323232dxxdxxxxdxxdxxxxxx，故上，，又在，上连续，且在及.)1ln(0)1ln(]10[.)1ln()1ln(]1,0[)1ln()2(10101010dxxxdxxxdxxxdxxxxx故，上，，又在，上连续，且在及例2：估计下列积分值02412.2)1(12dxedxxxx）（；）（解：.51)1(6)14(17)1()14(21712)1(4124122dxxdxxx即，.22,22.)2()(,)2()0(,)21()(,0)(2210)(210;0)(21),12()(.]2,0[)()2(02412202412max241min2222edxeeedxeeefxfMeffefxfmxfxxfxxfxxexfexfxxxxxxxx即故又时；当时当时当上的最值在先求例3：.0sinlim)2(01lim)1(40210xdxdxxxnnnn证明解：（利用积分中值定理）.0)1(2lim)210()021(11)1(210nnnndxxx原式.0sin4lim)40()04(sinsin)2(40nnnnxdx原式1.估计下列积分值3314542.arctan2)1(sin1xdxxdxx）（）（练习：2.根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：2121321010.2)1(1dxxdxxdxxdxex与）（与）（答案：3314542.32arctan922)1(sin1.1xdxxdxx）（）（较大）（较大）（2131021.2dxxdxex一、积分上限函数及其导数概念二、牛顿-莱不尼茨公式（微积分基本公式）第三节微积分基本公式定积分定理1：证明：之间）与介于（则且使以增量给中值定理xxxxfdttfdttfdttfxxxbaxxxxbaxxxxxaxxa()()()()()()),(,),,().()()()],[)()],[)(bxaxfdttfdxdxbadttfxbaxfxaxa（上可导，且在（数上连续，则积分上限函在闭区间如果一、积分上限函数及其导数概念).()(,0,);()(,0,).()(,],[)(,0)(bfbxbxafaxaxxfxbaxfxfx则同理可证取若则同理可证取若有上连续在由令即上的一个原函数。在就是（上连续，则函数在闭区间如果],[)()()],[)(baxfdttfxbaxfxa定理2：（原函数存在定理）定积分定理3：证明：).()()(,).()()()()()()(.)(.)()()()()(aFbFdttfbxaFxFdttfxaFxxFCaFaxCxxFxfdttfxbaxaxa则令或即有令的一个原函数，从而也是函数微积分基本公式）原函数，则上的一个在区间是连续函数如果()]([)()()(],[)()(abxFaFbFdxxfbaxfxFba二、牛顿-莱不尼茨公式（微积分基本公式）例1计算下列定积分102)1(dxx10)2(dxexdxx121)3(dxx11211)4(dxx20sin)5(3131103x10110eeeex2ln2ln1lnln12x2)4(4arctan11x4coscossinsin2020xxxdxxdx例2)().(,)()(,)()()1(xgaxdttfxxgxf求可导连续，202,cos)()2(xydttxy求ydtttxyxea求,ln)()3(.,11)()4(232ydttxyxx求解：)()]([)()()()(),()1(xgxgfxgufdxdudttfdudxxguua则422cos22)cos()2(xxxxyxeeeyxxxln)3(26422311211)1111()4(32xxxxdttdttyxaxa例3的面积。如图轴所围平面图形上与在计算曲线)(],0[sinxxy解：dxxA0sinoxy依题意，所求面积为0cosx)1()1(2y=sinx例4内卫单调增加函数。在证明内连续，且在设),0()()()(.0)(),0[)(00xxdttfdtttfxFxfxf2002000))(()()()())(()()()()()(xxxxxdttfdttftxxfdttfdtttfxfdttfxxfxF证内单调增加。在从而故且上依题意，在),0()(),0(0)(,0)()(,0)(,0)()(,0)()(,0)(,)0](,0[00xFxxFdttftxdttftftxtftxtfxxxx例5解：21cos02limxdtextx计算exxexxexxxx21sin2lim2)sin(lim22cos0cos0原式练习xtxxxxedtetxeydttxydxxdxx02220212254lim)4(,cos)()3(1)2(111求）计算（答案21)4(cos4cos5)3(1)2(1183104xxxx）（定积分的换元法第四节定积分的换元法定积分定理：注意：应用公式（*）时，换元必换限。）（则有越出值域不上具有连续导数，且其，或，在满足条件：上连续，在区间如果*)()]([)(],,[][][)()2(;)(,)()1()(],[)(dtttfdxxfbatbatxbaxfba一、定积分的换元法证明：)()()(aFbFdxxfba设F(x)是f(x)的一个原函数，则)],([)(tFt又令由复合函数求导法，得)()(txfdtdxdxdFt)()())((ttf）（）（即dtttf)()]([)]([)]([FF)()(aFbFdtttfdxxfba)()]([)(此即例1计算下列定积分dxxxdttedxxxdxxt053102102241sinsin)4()3(1)2(11)1(2解dtttdxxtx