拓扑学测试题二

1测试题二一、（15分）（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；（2）证明：T=是X上的一个拓扑.二、（15分）(1)叙述完备格的定义；（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设，，求分别在数直线T)及可数补空间T)中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设T),W)是两个拓扑空间，,,(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是TW连续的当且仅当W,T六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：(a)T,T;(b)TT,T;(c)ATAT.（2）证明：因是可数集，故T,T.T，则是可数集，从而=是可数集,即T;AT,A,是可数集，于是是可数集，从而A=是可数集，即AT.，因此T=是X上的一个拓扑.（3）可数补拓扑是的不是.由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间.对，则且，因此它是空间.二、（15分）(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D2表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线T)中，;可数补空间中，.四、（15分）（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.五、（10分）（1）,则称在点TW连续的.（2）证明（必要性）W,设.则，由条件，存在.于是T.（充分性）,则T,从而，且,故是TW连续的.六、（10分）(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在，则是X中开集组成的F的开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.由的任意性知F是闭集.七、（15分）（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：（a）（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则BB是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有3，这样,B是X的可数基.八、（10分）证明：设，，则同理设则＝＝.测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足公理二、（20分）设是一个度量空间。证明下述两个结论等价：1）是可分得。2）的拓扑有一个可数拓扑基。三、（20分）证明：任一紧度量空间是可分的。四、（每题18分，共计36分）a)如果和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都是道路连通的.b)若的每个紧致子集都是闭集，则中的序列的极限是惟一的.答案一、是非1、√2、√3、ⅹ4、√5、√6、√7、√8、ⅹ二、证明：1）2).由于是可分的，故有一个可数的稠密集合。证明是的一个可数拓扑基。事实上，由于是可数集，映射显然是单全射。故是可数集。现设是任一开集。4于是使得。现在设使得。由于在中稠密，故存在使得。从而设。那么此即表明，从而，并且。于是是的元素的并。故是的一个可数的拓扑基。2）1）设是的一个可数拓扑基。，任取。那么是可数基。为了证明此可数集在中稠密，只需证明对的任一开集，。这是显然的。因为是拓扑基，故至少存在使得。于是。因此是的一个可数稠密集，即是可分的。三、证明：，故。的紧性表明存在有限个使得。令，。则是的一可数集。下面证明在中稠密，也即。为此设。于是存在使得。从而存在使得。于是。此即表明，因此。四.a)如果，和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都道路连通.证明下证是道路连通的.，因道路连通，故有中的道路使，易见设数集的下确界为，则，因为是的开集，所以有使，由的定义知，存在使5，作道路因道路连通，故存在道路使因此是中的从到道路.这表明中的点在中的连通分支，因道路连通,故，从而,于是,即是道路连通的.同理可证是道路连通的.b)若X的每个紧致子集都是闭集，则X中的序列的极限是惟一的证明首先，单点集总是紧致的，从而满足公理，假如的一个序列有两个不同的极限,则是包含的开集，它必定包含了的几乎所有项，也就是说只有有限项为，作子集，则紧致，从而是闭集，是的开邻域，它最多只能含的有限多项，从而.测试题四一、（20分）证明：T=:UXXU是可数集构成X上的拓扑；并说明该拓扑是1T的还是2T的.二、（20分）设X，Y是两个拓扑空间，:fXY.证明以下两个条件等价：1）f连续；2）对于Y的任何一个子集B，B的内部的原象包含于B的原象的内部，即0101fBfB.三、（20分）1、叙述完全正则空间的定义；2、证明：每一个完全正则空间都是正则空间。四、（20分）1）X中任一既开又闭的连通子集都是X的连通分支.2）如果X只有有限个连通分支，那么X的每个连通分支都是既开又闭的.举例说明如果X有无限个连通分支，结论未必成立.五、（20分）1、叙述紧致空间的定义；2、证明：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.答案一、证明：因XX是可数集，故XT,T.,UVT，则,XUXV是可数集，从而XUV=()()XUXV是可数集,即UVT;AT,AA,XA是可数集，于是()XA是可数集，从而XA=()XA是可数集，即AT.，因此T=:UXXU是可数集是X上的一个拓扑.可数补拓扑是1T的不是2T.由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是2T空间.对,,xyRxy，则yRyNx且xRxNy，因此它是1T空间.二、证明：1）2）10fB开，又101fBfB。所以0101fBfB2）1）U开，01101fUfUfU，所以011fUfU。三、证明：设C为X的既开又闭的连通子集，A为X的连通分支且CA，则C在子空间A中也是既开又闭的。因为A连通且C，故必有CA，即C是X的连通分支。61）设1niiXUC，其中iCi为X的连通分支。由于,iiC闭于X，从而1j，2,,n。1niiUC也闭于X，又因不同的连通分支不相交，故jiijCUC开于X，即jC是既开又闭的1,2,,jn。当X有无限个连通分支时，结论未必成立。例如X作为1E的子空间。x，x为连通分支，但不是的开子集。四、1、设X是一个拓扑空间。如果对于任意xX和X中任何一个不含点x的闭集B存在一个连续映射:0,1fX使得0fx以及对于任何yB有1fy，则称拓扑空间X是一个完全正则空间。2、证明：设X是一个完全正则空间。设xX，B是X中的一个不含点的x闭集。则存在连续影射:0,1fX使得0fx和对于任何bB。于是110,2f和11,12f分别是点x和闭集B的开领域，并且它们无交。这表明X是一个正则空间。五、1、设X是一个拓扑空间。如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.2、设Y是紧致空间的一个闭子集，如果是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成，则Y是X的一个开覆盖，设1是的一个有限子族并且覆盖X，则1Y便是的一个有限子族并且覆盖Y，这证明Y是的X一个紧致子集.测试题五一、(20分)1.叙述拓扑空间的定义;2.证明：对无穷集X,集族TGXGcn\:{为可数集}{}为拓扑;3.在RX且上述拓扑下，求AAo,，并做出说明，其中}:1{NnnA.二、(20分)1.叙述1T空间的定义；2.证明：,(XT)为1T空间}{}{,xxXx；3.说明有限补空间,(RTF)是1T空间，但不是2T空间.三、（15分）1.叙述正则空间的定义；2.证明：,(XT)为正则空间),(),(,xNVxNUXx使得UV.四、(10分)叙述拓扑空间上连续函数的定义，并给出函数连续的两个充要条件.五、(15分)叙述度量空间的定义并证明度量空间为第二可数空间的充要条件为它是可分空间.六、(10分)叙述紧空间的定义并写出,(XT)为紧空间的两个充要条件.7七、(10分)叙述连通空间的定义，并给出空间,(XT)为连通空间的三个充要条件.答案一.(20分)1设X是一个集合，TP,X称X为上的一个拓扑,若T满足下面的三条：(1)XT,T;(2)U,VT,UVT;(3)ATAT.2.集族满足上述的三条开集公理，3.AA,A二.(20分)1.空间X称为1T空间yx,且yx,存在)(),(yNVxNU使Uy且Vx;2.设X是1T空间，对每个xy，则存在VxyNV),(于是,}{xy因此}{}{xx；反之，由每个单点集是闭集，对每个Xyx,且yx，则)(}{\),(}{\yNxXxxNyXy，即X是1T的；3．由有限补空间,(RTF)的任意两个非空开集之交不空知它不是2T空间;Ryx,且yx，则)(}{\),(}{\yNxRxxNyRy，即X是1T的.三.（15分）1.设,(XT)是拓扑空间.称X为正则空间F闭于FxX,，存在)(),(FNVxNU使VU;2.设X是正则空间，)(xNU，由UXx\闭于X，存在)\(),(UXNGxNV使得GV，于是UGVVc；),(\),(,xNFXxFxXFXx由已知，存在;\),(FXVxNV令)(\FNVXU，则VU，故X是正则空四.（15分）1.设,(XT,(),YU)是两个拓扑空间，若对,][),()),((,VUfxNUxfNVXx则称f是T-U连续的;2.(a)VU,)(1VfT;(b)VB,)(1VfT.五.（15分）(1)是集X上的一个度量),0[:XX满足下面的度量公理：),(),(),()3();,(),()2(;0),()1(yzyxzxxyyxyxyx；8(2)必要性是显然的，下证可分度量空间),(X是第二可数的.设}:{NixAi是X的可数稠子集，对每个Nn令Bp}:)1,({AxnxBii,则BNnBn是X的可数开集族;下面说明B是X的基.事实上,对每个)(,xNUXx存在UnxBNn)1,(,00,因A是X的稠子集,有),21,(0nxBxi这样,)21,(0UnxBxiB是X的可数基.六.（10分）1.拓扑空间X称为紧的X的每个开覆盖有有限子覆盖；2.(1)X内每个具有有限交性质的闭集族具有非空交；(2)X内每个网有聚点.七.（10分）空间X称为连通空间：若这样的子集BA,不存在，BA,满足ABBA；充要条件：(1)X没有由两个闭集组成的分划；(2)X没有由两个开集组成的分划；(3)X的既开又闭的子集只有.X，测试题六一、(20分)1.叙述拓扑空间的定义；2.证明：对无穷集,X集族TFGXG/:{为有限集}{}为拓扑；3.在RX上述拓扑下，求A,A，并做出说明，其中}2{}1,0