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1用放缩法证明不等式的方法与技巧一.常用公式1.)1(11)1(12kkkkk2.12112kkkkk3.22kk()4k4.1232kk(2k)5.!!(!kkk1)112116.baba二.放缩技巧所谓放缩的技巧:即欲证AB,欲寻找一个(或多个)中间变量C,使ACB,由A到C叫做“放”,由B到C叫做“缩”.常用的放缩技巧(1)若0,,tataata(2)1nn,21nnn,111nn,2(1)nnnn(3)21111111(1)1(1)(1)1nnnnnnnnnn(4)22122(1)2(1)11nnnnnnnnnnn(5)若,,abmR,则,aaaambbmbb(6)21111111112!3!!222nn(7)2221111111111(1)()()232231nnn(因为211(1)nnn)(7)1111111112321111nnnnnnnnn或11111111123222222nnnnnnnnn(8)111111123nnnnnnn等等。三.常见题型(一).先求和再放缩:1.设11112612(1)nSnn,求证:1nS2.设1nbn(nN),数列2{}nnbb的前n项和为nT,求证:34nT2例1求nkk12142的值例2.求证:)2()12(2167)12(151311222nnn例3求证:nn412141361161412例4求证:351914112n例5已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.直接放缩1、放大或缩小“因式”:例1.设数列na的前n项和为nS,对任意的正整数n,都有51nnaS成立,记*4()1nnnabnNa。(I)求数列nb的通项公式;(II)记*221()nnncbbnN,设数列nc的前n项和为nT,求证:对任意正整数n都有32nT;3例2.已知数列na满足111,21nnaaanN(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅲ)证明:23111123nnNaaa例3.设数列}{na满足).,2,1(1,211naaaannn证明12nan对一切正整数n成立例4.已知数列na满足411a,2)1(11nnnnaaa(Nnn,2)。(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅲ)设2)12(sinnacnn,数列nc的前n项和nT,求证:对74,nTNn。4例5.数列nx由下列条件确定:01ax,,211nnnxaxxNn.(I)证明:对2n总有axn;(II)证明:对2n总有1nnxx1.(2014•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.2.(2015•广东)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{an}的前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.3.(2013•广东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.54.(2014•广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.5.(2013•广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12﹣4n﹣1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a2=;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.6.(2012•广东)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.7.(2015•重庆)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μan2=0(n∈N+)(Ⅰ)若λ=0,μ=﹣2,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=﹣1,证明:2+<<2+.68.(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.9.(2012•重庆)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a2≠0.(Ⅰ)求证:{an}是首项为1的等比数列;(Ⅱ)若a2>﹣1,求证,并给出等号成立的充要条件.10.(2013秋•梁子湖区校级月考)已知函数.(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(II)设数列{an}的通项an=1+.11.(2011•广东)设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,an≤+1.712.(2011•天津)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(﹣2)n+1,bn=,n∈N*,且a1=2.(Ⅰ)求a2,a3的值(Ⅱ)设cn=a2n+1﹣a2n﹣1,n∈N*,证明{cn}是等比数列(Ⅲ)设Sn为{an}的前n项和,证明++…++≤n﹣(n∈N*)13.(2011•重庆)设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn(n∈N*).(Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3.(Ⅱ)求证:对k≥3有0≤ak≤.14.(2011•湖南)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的零点个数.并说明理由;(Ⅱ)设数列{an}(n∈N*)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M.15.(2011•浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1(a1∈R),且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;8(Ⅱ)对n∈N*,试比较与的大小.16.(2011•浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为Sn,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn;(Ⅱ)记An=+++…+,Bn=++…+,当n≥2时,试比较An与Bn的大小.17.(2009•江西)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有.(1)当时,求通项an;(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有.18.(2008•安徽)设数列{an}满足a1=0,an+1=can3+1﹣c,n∈N*,其中c为实数(1)证明:an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1];(2)设,证明:an≥1﹣(3c)n﹣1,n∈N*;(3)设,证明:.919.(2008•江西)数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1=3,b1=1,数列是公比为64的等比数列,b2S2=64.(1)求an,bn;(2)求证.课后作业:1.求证:2222111171234n2.已知数列}{na的前n项和nS满足.1,)1(2naSnnn(Ⅰ)写出数列}{na的前3项321,,aaa(Ⅱ)求数列}{na的通项公式
本文标题:数列不等式(放缩法)
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