1999年哈尔滨工业大学量子力学试题

1999年量子力学考研试题一.质量为m的粒子，在阱宽为a的非对称一维无限深势阱中运动，当0t时，粒子处于状态xxxx3214141210,其中，xn为粒子的第n个本征态。（1）求0t时能量的取值几率；（2）求0t时的波函数tx,；（3）求0t时能量的取值几率。解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为xanaxnnmaEnnsin2,3,2,1,22222（1）首先，将0,x归一化。由14141212222c可知，归一化常数为38c于是，归一化后的波函数为xxxx3216161320,能量的取值几率为61;61;32321EWEWEW能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0t时的波函数为tExtExtExtx332211iexp61iexp61iexp32,（3）由于哈密顿量是守恒量，所以0t时的取值几率与0t时相同。二.（见习题选讲5.10）设体系的哈密顿算符为22221ˆ21ˆˆ21ˆzyxLILLIH利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。解：将哈密顿算符改写为212212122221ˆ2121ˆ21ˆ2121ˆˆˆ21ˆzzzyxLIILILIILLLIH显然，zLLHˆ,ˆ,ˆ2构成力学量完全集，且其共同本征函数系为),(Ylm，于是),(Y2121)1(21),(Yˆ2121ˆ21),(Yˆ22122121221lmlmzlmmIIllILIILIH进而可知能量本征值为221212121)1(21mIIllIElm相应的本征矢为球谐函数,Ylm。三.自旋为21、固有磁矩为s（为实常数）的粒子，处于均匀外磁场j0BB中，设0t时，粒子处于2zs的状态，求出0t时的波函数，进而计算xsˆ与zsˆ的平均值。解：体系的哈密顿算符为yyyBsBBHˆˆ2ˆˆ00在泡利表象中，哈密顿算符的矩阵形式为0ii0ˆH其本征值E满足久期方程0iiEE解之得到21;EE将1E和2E代入本征方程，可以求出相应的本征矢i1211；i1212依题意可知，2121010显然，展开系数为210021CC0t时的波函数为tttttttttttECtiiiisincosiexpiexp2iiexpiexp21i121iexp21i121iexp21iexp21iexp21iexp02121将021B代入上式，得到tBtBt21sin21cos00xsˆ的平均值为tBtBtBtBtBtBtBtBtBtstxsin221cos21sin21sin,21cos221sin21cos0110221sin,21cosˆ000000000zsˆ的平均值为tBtBtBtBtBtBtBtBtBtstzcos221sin21cos21sin,21cos221sin21cos1001221sin,21cosˆ000000000四.若一维体系的哈密顿算符xVpH2ˆˆ2不显含时间，在能量表象中证明：(1)mnmnmnxEEpi(2)mmnmnnmpxEE22222(3)mmnmnnmxVxxEEdd22证明：（1）.利用算符微分的定义可知mnmnkknmkknmkmnmnmnmnxEExHHxxHHxHxtxtxi1i1ˆˆi1ˆ,i1dd而从另一个角度出发，又可以得到mnmnmnmnmnmnppxVpxHxtxtx1i221i12ˆ,i1ˆ,i1dd2比较上述两式得到，mnmnmnxEEpi（2）.从计算动量算符平方的平均值出发，有22222iiˆmnnnmnmnmmnmnnnmnmnmmxEExEExEEppp整理之，有mmnmnnmpxEE22222（3）利用维里定理，rVrT21得到mmmmxVxxpdd21ˆ212于是，有mmnmnnmxVxxEEdd22五．各向同性三维谐振子的哈密顿算符为)(21ˆˆˆ21ˆ2222222zyxpppHzyx加上微扰zxyzxyWˆ之后，求第一激发态的一级能量修正。解：无微扰时，三维谐振子的本征解为zyxzyxnEnnnnnnn321321,,230当1n时，第一激发态存在3度简并，即2501Ezyxzyxzyxzyxzyxzyx001030100210001,,,,,,利用公式1,1,2121nmnmnnnxm可以求出0332211311332232112式中，22a在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程为0111111EaaaEaaaE化成一元三次方程0233112311aEaE将其变形为0221121111aaEEaE解之得;;2;2211321122111EEE