第五章频率特性法

第五章频率特性法教学目的频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。教学重点1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念教学内容1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的频域指标5-1频率特性频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法。优点：①具有明确的物理意义；②计算量很小，采用近似作图法，简单、直观，易于在工程技术中使用；③可以采用实验的方法求出系统或元件的频率特性。对于图5-1所示的电路,当ui(t)是正弦信号时,我们已知uo(t)也是同频率的正弦信号,简单推导如下:设ui(t)=Usinωt,则其拉氏变换为22)(sUsUi而RC电路的传递函数为11)(1)/(1)()(sCsRCssUsUio(5.1)＋－ui(t)＋－uo(t)RC图5-1RC电路式中,τ=RC。则有2211)(11)(sUssUssUio(5.2)对式(5.2)进行拉氏反变换（p641-26）,可得)sin(11)(2222tUeUtuto(5.3)式中,φ=-arctgωτ。式(5.3)的等号右边,第一项是输出的暂态分量,第二项是输出的稳态分量。当时间t→∞时,暂态分量趋于零,所以上述电路的稳态响应可以表示为jtjUtUtuot11sin11)sin(1)(lim22(5.4)若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示,可以得到:)()(11)(jeAjjG(5.5)式中,arctgjjA11)(1111)(22G(jω)是上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比,称为频率特性。对比式(5.1)和式(5.5)可见,将传递函数中的s以jω代替,即得频率特性。A(ω)是输出信号的幅值与输入信号幅值之比,称为幅频特性。φ(ω)是输出信号的相角与输入信号的相角之差,称为相频特性。上述RC电路的幅频和相频特性如图5-2所示。图5-2RC电路的幅频和相频特性221110.80.60.40.201/2/3/4/5/－arctg0－0.5－1－1.501/2/3/4/5/系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下,系统的稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比|G(jω)|称为幅频特性,系统稳态输出信号与输入正弦信号的相移φ(ω)称为相频特性。线性定常系统的传递函数为零初始条件下,输出和输入的拉氏变换之比)()()(sRsCsG频率特性：幅频特性：相频特性：负相角称为相位滞后，正相角称为相位超前。C/RG(j)G(j)复量可以写成指数式、三角式或实部与虚部相加的代数式0)(,)()(arctan0)(,)()(arctan)()(UUVUUVjG)(jG)()(]sin[cos)()()()(jVUjjGejGjGj•相位角为正弦输入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。实际系统中传递函数分子阶次低于分母阶次。5-2典型环节的频率特性频率特性G(jω)是复数，使用很不方便。常用图形表示G(jω)的幅值和相角与频率的关系。5.2.1频率特性的表示方法:1.幅相频率特性（奈氏图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性（尼氏图）控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换。极坐标图：在复数的直角坐标或极坐标平面上，ω由0→∞时，G(jω)的轨迹。又称Nyquist图，奈奎斯特图，幅相特性图。波德图（对数频率特性曲线）：由对数幅频特性和对数相频特性组成。伯德图的横坐标按lgω分度,即对数分度,单位为弧度/秒(rad/s),对数幅频曲线的纵坐标按线性分度,单位是分贝(dB)。对数相频曲线的纵坐标按φ(ω)线性分度,单位是度(°)。对数幅相特性（尼氏图）:将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。000902/12/12/145/101100)()(1)(11)(11)(arctan)(1jT1)(j11)(惯性环节1.222222TVUjGjGTTVTUTjGTjGGTssG极坐标图是半圆。2121222VU5.2.1极坐标图惯性环节幅相曲线ω=0j0ω=∞-45oω=1/T(b)K2.积分环节积分环节频率特性的极坐标图是虚轴。ω∠G（jω）│G(jω│U(ω)V(ω)0-90º∞0-∞1-90º10-1∞-90º0002je11jj1)(js1)s(GG0ω积分环节的幅相曲线j3纯微分环节和一阶微分环节纯微分环节一阶微分环节ω∠G（jω）│G(jω│U(ω)V(ω)090º000190º101∞90º∞0∞2jej)G(js)s(Gjarctan22e11j)G(j1s)s(Gω∠G（jω）│G(jω│U(ω)V(ω)00º1101/45º11∞90º∞1∞2jωω=00微分环节幅相曲线ω=0j0ω1(b)一阶微分环节的幅相曲线4振荡环节ω∠G（jω）│G(jω│U(ω)V(ω)00º1101/T-90º1/2ζ0-1/2ζ∞-180º000)(2)(12)(;)(2)(11)()(2)(11)(j112arctan180112arctan)(jj2)(11)(j;1)(02121)(222222222222222222222nn22n22TTTVTTTUTTGTTTTTTGTTGssTssTsG-0.500.511.5-1.5-1-0.50jζ=0.2—0.8振荡环节的幅相曲线0.7070121)j(212110d)(d)(0:2r2n2rGMTjGjG两种形式。曲线有单调衰减和谐振，5.延迟环节极坐标图是单位圆。而，）由时，由当频率特性是：延迟环节的传递函数：1)j(G0j(G01)j(G3.57rad)j(Ge)j(Ge)s(Gjs概略绘制开环幅相曲线有三个要素：a.确定幅相曲线的起点(ω=0)和终点(ω=∞)b.确定幅相曲线与实轴的交点，设ω=ωx时，幅相曲线与实轴相交，则有：kjHjGjHjGxxx)()()(0)()(Im　　　求出ωx值后，代入实部表达式Im[G(jωx)H(jωx)]得到实轴的交点。c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）开环幅相曲线的绘制例：5－1概略绘制0型系统幅相曲线)1)(1()(21STSTksG解：系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。21112221tantan)()(11)(11)(TTkTTsG相频特性：　幅频特性：　1.确定开环幅相曲线的起点和终点180)0(0)0(0)0()0(0－　　时，　　　　时，　　jGkjG2.确定开环幅相曲线与实轴的交点)1)(1()()1()1)(1)(1)(1()1)(1()1)(1()(2222122121222112121TTTTjTTkTjTjTjTjTjTjkTjTjkjG　　　0ω=∞ω=0kωReIm令虚部j(T1+T2)ωx=0求得：ωx=0说明系统的开环幅相曲线仅在ωx=0处与实轴有交点。3.由于惯性环节单调地从0°-90°,因为该系统有二个惯性环节，所以曲线变化范围为第四、第三象限(-180°)。综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：1.零型系统在ω=0时的幅值恰好是开环传递系统k。2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当ω=∞时，幅相曲线趋于0∠-90°。所以本例中当ω=∞时，幅相曲线趋于0∠2×(-90°)=0∠-180°。推而广之，若系统包含n个惯性环节，则ω=∞时，幅相曲线必然趋向于0∠n×(-90°)。3.如果系统还包含一阶微分环节(TS＋1)，因为ω→∞时，一阶微分环节相频特性从0→90°，所以，总的相频特性有如下特点：∠G(jω)=(m-n)90°,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。例5－2，绘制Ⅰ型系统幅相曲线)1)(1()(21STSTSksG系统由比例、积分和二个惯性环节组成kTTjG2221)(11)(111)(幅频特性：　2111tantan90)(TT相频特性：　270)(0)(90)0()0(0　　　时，　＝当　　　　　时，　＝当　　jGjG)1)(1()1()()1)(1()(2222212212121TTTTjTTkTjTjjkjG－由频率特性幅相曲线在起点处的幅值)()1)(1()()0(Re2122222121TTkTTTTkjG)1)(1(1)0(Im222221221TTTTjG与实轴的交点21221101TTTTxx　　得：　＋令：　－21`2121212121212121)11)(11(11)()(ReTTTkTTTTTTTTTTTTTkjGxωωω=0ω=∞)(21TTk2121TTTkTReIm①②5.2.2对数频率特性图伯德(Bode)图。容易绘制，分析直观，应用最广。包括幅频特性图和相频特性图。横轴坐标实际是lgω，但标注的是角频率ω(rad/s)，对数分度，可展现很宽的频率范围。ω→2ω的频带宽度称2倍频程，ω→10ω的频带宽度称10倍频程或10倍频，记dec。ω为0.1、1、10、100、1000的各点间横轴间的距离相等。Lg0=-∞,横轴上画不出ω=0的点。幅频特性图纵坐标表示20lg│G(jω)│,单位dB（分贝），线性分度。0dB表示│G(jω)│=1，无│G(jω)│=0点。相频特性图纵坐标∠│G(jω)│，单位是（º）或rad,线性分度。Bode图绘制在半对数坐标纸上。传递函数可写成基本环节传递函数相乘的形式，幅频特性由相应的基本环节幅频特性的代数和得到。1.放大（比例）环节G(s)=K,G(jω)=K20lg│G(jω)│=20lgK∠G(jω)=0º对数幅频特性是平行于横轴的直线，相距20lgKdB。K1,直线位于横轴上方；K1,直线位于横轴下方。对数相频特性是与横轴相重合的直线。K的数值变化时，幅频特性图中的直线20lgK向上或向下平移，相频特性不变。2.积分环节90)j(20dB20lg20lg10120lg10120lg1020dB/dec20lg)j(20lg20lg120lg)j(20lge11jj1)j(1)(2j