离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

一、填空2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为(B⊕C)-A4．公式的主合取范式为。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为1。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图如下，则R^2={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)}。//备注：0000100001010010R00000000101001012R7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图如下，则R={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)}U{(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)}。//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为。//补图:给定一个图G,又G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图,成为补图.自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统A，*的幺元是a，有逆元的元素为a,b,c,d，它们的逆元分别为a,b,c,d。//备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,yA。10．下图所示的偏序集中，是格的为c。//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（C、D）A．；B．；C．；D．。2、下列集合中相等的有（B、C）PRSRP)()()()(RSPRSP)()(xxPxxP}}{{}{aa}}{,{}}{{}},{{}}{{}{ACCA．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（C）个。A．23；B．32；C．；D．。//备注：A的二元关系个数为：2n2个。4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A）A．若R，S是自反的，则是自反的；B．若R，S是反自反的，则是反自反的；XC．若R，S是对称的，则是对称的；XD．若R，S是传递的，则是传递的。X//备注：设R={3,3,6,2},S={2,3},则RS={6,3},SR={2,3}5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下，则P（A）/R=（D）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（C）//例题：画出下列各关系的哈斯图1）P={1,2,3,4},P,≤的哈斯图。2）A={2,3,6,12,24,36},A,整除的哈斯图。3）A={1,2,3,5,6,10,15,30},A,整除的哈斯图7、下列函数是双射的为（A）//双射既是单射又是满射A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=n,n+1；C．f:RI,f(x)=[x]；//x的象D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（D）条。//备注：分别是v1-v1-v1-v3，v1-v4-v1-v3，v1-v3-v1-v3A．0；B．1；C．2；D．3。332223SRSRSRSR|}||(|)(,|,{tsAptstsR9、下图中既不是Eular（欧拉）图，也不是Hamilton（哈密顿）图的图是（B）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（A）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。//备注：树的顶点数=边数+17+3×3+4n=2（7+3+n-1）解得n=1三、证明题1、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当a,b和a,c在R中有b,c在R中。证：“”若由R对称性知，由R传递性得“”若，有任意，因若所以R是对称的若，则即R是传递的2、f和g都是群G1,★到G2,*的同态映射。证明C,★是G1,★的一个子群。其中C=证：，有，又★★★C,★是G1,★的子群。3、G=V,E(|V|=v，|E|=e)是每一个面至少由k（k3）条边围成的连通平面图，则，由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）证：①设G有r个面，则，即。而故即得。（8分）②彼得森图为，这样不成立，所以彼得森图非平面图为：Xcba,,Rc,a,b,aRa,c,a,bRc,bRb,aRc,aRc,bXba,Ra,aRb,aRa,bRb,aRcb,Rcb,Rab,Rc,a)}()(|{1xgxfGxx且Cba,)()(),()(bgbfagaf)()(,)()(1111bgbgbfbf)()()()(1111bgbgbfbfaf(agbgagbfafb()(*)()(*)()111)1baCb12)2(kvkerkFderii1)(2ker22revkeevrev222)2(kvke10,15,5vek2)2(kvke四、逻辑推演1、用CP规则证明下题①P（附加前提）②US①③P④US③⑤T②④I⑥UG⑤⑦CP五、计算题1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}用矩阵运算求出R的传递闭包t(R)。解：，，，t(R)={a,a,a,b,a,c,a,d,b,a,b,b,b,c.,b,d,c,d})()())()((xxQxxPxQxPx)(xxP)(cP))()((xQxPx)()(cQcP)(cQ)(xxQ)()(xxQxxP0000100001010010RM00000000101001012RRRMMM000000000101101023RRRMMM000000001010010134RRRMMM0000100011111111432)(RRRRRtMMMMM