2011届高三数学函数的奇偶性

第三节函数的奇偶性考纲点击1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的性质..热点提示1.函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是2011年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题.2.在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称1.函数的奇偶性1.奇偶函数的定义域有何特点？提示：由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称.2.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零.2．奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数是；③一个奇函数，一个偶函数的积函数是．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.相同相反奇函数偶函数奇函数1．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数【解析】令F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(－x)＝f(－x)＋f(x)，即F(x)＝F(－x)，故D正确．【答案】D2．对任意实数x，下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx【解析】A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数．设y＝f(x)＝ln5x＝xln5，∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)．【答案】C3．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞0【解析】∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.【答案】A4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.【解析】∵f(x)为奇函数且f(3)－f(2)＝1，∴f(－2)－f(－3)＝f(3)－f(2)＝1【答案】15．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确的命题序号为________．【解析】当y＝f(x)在x＝0处无定义时，①②都不正确；∵偶函数的图象关于y轴对称，∴③正确；∵既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)＝0，x∈[－a，a](其中a可为任一确定的正实数)，∴④错误．【答案】③函数奇偶性的判定讨论下列函数的奇偶性：【思路点拨】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【自主探究】(1)要使f(x)有意义，则≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性．(2)∵∴－2≤x≤2且x≠0，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．【方法点评】1.判断函数奇偶性的一般步骤(1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称．若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，再判定f(－x)与f(x)之间的关系①若f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则f(x)为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．2．一些重要类型的奇偶函数：(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；1．判断下列函数的奇偶性：(3)f(x)＝|x－a|(常数a∈R)．【解析】(1)∵f(x)的定义域为{x|x＞0}不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}关于原点对称，此时f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R.①当a＝0时，f(x)＝|x|，∴f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数．②当a≠0时，∵f(a)＝0，f(－a)＝2|a|，∴f(－a)≠f(a)且f(－a)≠－f(a)，此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上可知，a＝0时，f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．分数函数的奇偶性已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性．【思路点拨】【自主探究】由题设可知函数的定义域关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)．当x＜0时，－x＞0，∴f(x)＝f(－x)．综上所述，对于x≠0都有f(－x)＝f(x)成立，∴f(x)为偶函数．【方法点评】分段函数奇偶性的判定步骤：(1)分析其定义域是否关于原点对称；(2)对x的值进行分段讨论，寻求f(x)与f(－x)在各段上的关系；(3)综合(2)在定义域内f(－x)与f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性．【解析】当x＜－1时，f(x)＝x＋2，－x＞1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．当x＞1时，f(x)＝－x＋2，－x＜－1，∴f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，∴f(－x)＝0＝f(x)．综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．判断函数f(x)＝抽象函数的奇偶性已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．【思路点拨】(1)判断f(x)的奇偶性，即找f(－x)与f(x)之间的关系，∴令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，再想法求f(0)即可；(2)寻找f(12)与f(－3)之间的关系，注意用(1)问的结论．【自主探究】(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)∵f(－3)＝a且f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.【方法点评】判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)，f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论．3．函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)．试判断函数y＝f(x)的奇偶性．【解析】∵对于任意实数x1，x2都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，∴令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)②由①②得，f(－x)＝f(x)，∴y＝f(x)为偶函数．1．(2009年重庆高考)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－a，得：2a＝1，a＝.【答案】2．(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在[0,2]区间上为增函数，所以方程f(x)＝m(m＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根，不妨设为x1；∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x2＝－x1＋4⇔x1＋x2＝4.又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，∴f(x1－8)＝f(x1)＝m，不妨将此根记为x3，且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8.【答案】－83．(2009年全国Ⅰ高考)函数f(x)的定义域为R.若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数【解析】由于f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，∴f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(x)＝－f(2－x)．又f(x－1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(－1,0)，∴f(－1＋x)＝－f(－1－x)，即f(x)＝－f(－2－x)，f(2－x)＝f(－2－x)，f(4－x)＝f(x)．可知4为函数f(x)的周期，则f(x＋3)是奇函数．故选D.【答案】D4．(2009年陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0.则当n∈N*时，有()A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)【解析】由(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，＋∞)为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)．故选C.【答案】C5．(2009年江苏高考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2008)＝f(2008)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝0.故选C.【答案】C1．奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0＝±1[f(x)≠0]．2．奇函数的图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性．偶函数的图象关于y轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反．3．函数的奇偶性是整个定义域上的性质，因此，讨论奇偶性首先要看其定义域．4．解题中要注意以下性质的灵活运用：(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(