备考高考数学高频易错题举例解析

新东方在线高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形，导致错误。x0y0x+y0xy0，但x1y2与x+y3xy2不等价。【例1】已知f(x)=ax+xb，若,6)2(3,0)1(3ff求)3(f的范围。错误解法由条件得622303baba②①②×2－①156a③①×2－②得32338b④③+④得.343)3(310,34333310fba即错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxaxxf)(，其值是同时受ba和制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有22)2()1(bafbaf,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31ffbffa).1(95)2(91633)3(ffbaf把)1(f和)2(f的范围代入得.337)3(316f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】(1)设、是方程0622kkxx的两个实根，则22)1()1(的最小值是新东方在线不存在)D(18)C(8)B(449)A(思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2kk.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222k有的学生一看到449，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，∴0)6k(4k42.3k2k或当3k时，22)1()1(的最小值是8；当2k时，22)1()1(的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+38)2+328，∴当x=－83时，x2+y2有最大值283，即x2+y2的取值范围是(－∞,283]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+y24=1(x+2)2=1－y24≤1－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范围是[1,283]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a0,b0,a+b=1,求(a+1a)2+(b+1b)2的最小值。错解(a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+21a+21b+4≥2ab+ab2+4≥4abab1+4=8,新东方在线∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+21a+21b+4=(a2+b2)+(21a+21b)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a1+b1)2－ab2]+4=(1－2ab)(1+221ba)+4，由ab≤(2ba)2=41得：1－2ab≥1－21=21,且221ba≥16，1+221ba≥17，∴原式≥21×17+4=225(当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是252。●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列na的前n项和12nnS，求.na错误解法.222)12()12(1111nnnnnnnnSSa错误分析显然，当1n时，1231111Sa。错误原因：没有注意公式1nnnSSa成立的条件是。因此在运用1nnnSSa时，必须检验1n时的情形。即：),2()1(1NnnSnSann。(2)实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立，消去y，得).0(01)212(22xaxax①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得.01021202aa，解之得.817a新东方在线错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当0a时，圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得.0102a解之，得.11a因此，当817a或11a时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。思考题：实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212，(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列na的全n项和为nS.若9632SSS，求数列的公比q.错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得qqq1q24q,0)1q)(1q2(.01qq20q33336或得方程由。xyO图2－2－1xyO图2－2－2新东方在线错误分析在错解中，由qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，01qq2(q363）＝整理得时，应有1q0a1和。在等比数列中，01a是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1q的情况，再在1q的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若1q，则有.9,6,3191613aSaSaS但01a，即得,2963SSS与题设矛盾，故1q.又依题意963S2SSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(91613101qq2(q363）＝,即,0)1)(12(33qq因为1q，所以,013q所以.0123q解得.243q说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以新东方在线它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1kxy)0(k,则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得k=12,∴所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121,0,1xyxy《章节易错训练题》1、已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或22、已知A={}x|x2+tx+1=0，若A∩R*=，则实数t集合T=___。2tt(空集)3、如果kx2+2kx－(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A)－1≤k≤0(B)－1≤k0(C)－1k≤0(D)－1k04、命题:1Ax＜3，命题:(2)()Bxxa＜0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是C(等号)（A）(4,)（B）4,（C）(,4)（D）,45、若不等式x2－logax0在(0,12)内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)(A)[116,1)(B)(1,+)(C)(116,1)(D)(12,1)∪(1,2)6、若不等式(－1)na2+(－1)n+1n对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)新东方在线(A)[－2，32)(B)(－2，32)(C)[－3，32)(D)(－3，32)7、已知定义在实数集R上的函数()fx满足：(1)1f；当0x时，()0fx；对于任意的实数x、y都有()()()fxyfxfy。证明：()fx为奇函数。(特殊与一般关系)8、已知函数f(x)=1－2xx+1，则函数()fx的单调区间是_____。递减区间(－，－1)和(－1，+)（单调性、单调区间）9、函数y=log0.5(x2－1)的单调递增区间是________。[－2，－1）（定义域）10、已知函数f(x)=log2(x+2)x0xx－1x≤0，f(x)的反函数f－1(x)=。2x－2x1xx－10≤x1（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数f(x)=log12(x2+ax+2)值域为R，则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△0)(A)(－22,22)(B)[－22,22](C)(－,－22)∪(22,+)(D)(－,－22]∪[22,+)12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)（A）2（B）34（C）23（D）013、函数y=63422xxxx的值域是________。(－∞,52)∪(52,1)∪(1,+∞)（定义域）14、函数y=sinx(1+tanxtanx2)的最小正周期是C（定义域）(A)2(B)(C)2(D)315、已知f(x)是周期为2的奇函数，当x[0,1)时，f(x)=2x，则f(log1223)=D(对数运算)(A)2316(B)1623(C)－1623(D)－231616、已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。新东方在线（1）讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A作曲线)