初高中数学衔接知识(一元二次方程根与系数的关系)

2020年6月25日星期四2020年6月25日星期四现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．2020年6月25日星期四一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：20(0)axbxca2224()24bbacxaa(1)当时，方程有两个不相等的实数根：240bac242bbacxa(2)当时，方程有两个相等的实数根：240bac1,22bxa(3)当时，方程没有实数根．240bac根的判别式24bac2020年6月25日星期四一、一元二次方程的根的判断式【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：222(1)2310(2)4912(3)5(3)60xxyyxx说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．2020年6月25日星期四一、一元二次方程的根的判断式【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．2320xxk2020年6月25日星期四一、一元二次方程的根的判断式【例3】已知实数、满足，试求的值．22210xyxyxy,xy,xy22(2)10xyxyy由于是实数，所以此方程有实数根，因此：x222[(2)]4(1)300yyyyy解：把方程看作是关于的方程，整理得：x代入原方程得：．22101xxx综上知：.1,0xy2020年6月25日星期四二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：20(0)axbxca221244,22bbacbbacxxaa2212222221222442244()(4)422(2)4bbacbbacbxxaaabbacbbacbbacaccxxaaaaa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．02020年6月25日星期四二、一元二次方程的根与系数的关系【例4】若12,xx是方程2220090xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．解：由题意，由根与系数的关系得：12122,2009xxxx.(1)2222121212()2(2)2(2009)4022xxxxxx.(2)121212112220092009xxxxxx.(3)121212(5)(5)5()2520095(2)251974xxxxxx.(4)22212121212||()()4(2)4(2009)22040xxxxxxxx.说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体代换思想．2020年6月25日星期四二、一元二次方程的根与系数的关系【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．解：法一设这两个数分别是x，y，则412xyxy1126xy或2262xy.因此，这两个数是－2和6．法二由韦达定理知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解方程得：x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．2020年6月25日星期四二、一元二次方程的根与系数的关系说明：务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．02020年6月25日星期四二、一元二次方程的根与系数的关系