第17节：等腰三角形、等边三角形、直角三角形：第1课时

首页末页数学第17节等腰三角形、等边三角形、直角三角形考点突破课前预习第1课时等腰三角形、等边三角形首页末页数学1．等腰三角形(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”．④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的．(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．垂直平分线考点梳理首页末页数学2．等边三角形(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形；(2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于600;②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．(3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形．三60°考点梳理首页末页数学3．直角三角形(1)性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形300角所对的直角边等于斜边的；③直角三角形中，斜边上的长等于斜边的长的一半．(2)判定：①有一个角是的三角形是直角三角形；②有一边上的中线是这边的的三角形是直角三角形．(3)勾股定理及逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．一半中线直角一半考点梳理首页末页数学课前预习1.（2014黔西南州）已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21B．20C．19D．18解析：8+8+5=16+5=21．故这个三角形的周长为21．A2.（2014新疆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是°．解析：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°-40°）=70°，∵BD=BC，∴∠CBD=180°-70°×2=40°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=70°-40°=30°．30首页末页数学课前预习3.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．15首页末页数学课前预习4.（2014襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．解析：（1）由①②，①③，两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．答案：解：（1）①②；①③．（2）选①③证明如下，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．首页末页数学考点1等腰、等边三角形的判定和性质考点突破1.（2008广东）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：（2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积．解析：（1）由题意可推出△ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，即；（2）根据（1）的结论，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四边形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面积．首页末页数学考点突破答案：解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴（2）∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∵S△AEF：S△ABD=1：4，∴S△AEF：S四边形BDEF=1：3，∵四边形BDFE的面积为8，∴S△AEF=首页末页数学考点突破2.（2010广东）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．求证：△EGB是等腰三角形．解析：根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，从而证明结论．答案：证明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，∴∠EBF=60°，∴∠EBG=∠EBF﹣∠ABC=60°﹣30°=∠E．∴GE=GB，则△EGB是等腰三角形．首页末页数学考点突破3.（2008广东）已知等边三角形ABC的边长为3+，则△ABC的周长是．解析：解：在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和，即：3×（3+）=．首页末页数学考点突破4.（2007广东）已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图）．求△OA6B6的周长．解析：在等边三角形中，由勾股定理可求得其一边上的高与边长的关系，根据图形的变化规律即可求解．首页末页数学考点突破答案：解：（1）OA2=OA1=×（OA）=OA=a（2）依题意，OA1=OA，OA2=OA1=（）2OAOA3=OA2=（）3OA以此类推，OA6=（）6OA=OA=a即△OA6B6的周长=3OA6=a．首页末页数学考点突破5.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．解析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．首页末页数学考点突破答案：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°-90°）=45°，∠EAB=45°-30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°-90°-15°-45°=30°．首页末页数学考点突破6.如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．解析：（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．21首页末页数学考点突破答案：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴OA=BC=OB=OC，即OA=OB=OC；（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：连接AO∵AC=AB，OC=OB∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，在△AON与△BOM中∴△AON≌△BOM（SAS）∴ON=OM，∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．21首页末页数学考点突破7.如图，△ABC是等边三角形，D，F分别是BC，AB上的点，且BD=AF，AD，CF交于点E，则∠CED=度．解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠CAF=60°，AB=CA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠BAD（全等三角形的对应角相等）；又∵∠CED=∠ACF+∠EAC（外角定理），∴∠CED=∠CAF=60°．60首页末页数学考点突破8.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．首页末页数学考点突破解析：（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=（6+x），求出x的值即可；2121首页末页数学考点突破解析：（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．21首页末页数学考点突破答案：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；2121首页末页数学考点突破答案：解：（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．2121首页末页数学考点突破考点归纳：本考点曾在2007～2008、2010～2011年广东省市考试中考查，为高频考点.考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握其判定和性质.本考点应注意掌握的知识点：在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的作法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．首页末页数学