关于洛必达法则证明的几点补充-马丽娜

求DOI:10.13901/j.cnki.qhwxxbzk.2011.05.021第29卷第5期青海大学学报(自然科学版)Vol.29No.52011年10月JournalofQinghaiUniversity(NatureScience)Oct．2011关于洛必达法则证明的几点补充马丽娜1，刘烁2(1.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062;2.第四军医大学生物医学工程学院，陕西西安710032)摘要:用洛必达法则求函数的极限是一种很重要的方法。同济大学数学系主编的《高等数学》第六版教材中给出了洛必达法则的简单证明，本文对洛必达法则的证明作了详细的补充，以便于学生自学。关键词:洛必达法则;无穷小量;未定式中图分类号:O171文献标志码:B文章编号:1006－8996(2011)05－0080－04SeveralsupplementstodemonstrationoftheL’HospitalRuleMALina1，LIUShuo2(1.CollegeofMathematicsandInformationScience，ShaanxiNormalUniversity，Xi'an710062，China;2.FacultyofBiomedicalEngineering，TheFourthMilitaryMedicalUniversity，Xi'an710032，China)Abstract:UsingtheL’HospitalRuletocomputefunctionallimitisanimportantmethod.However，manybeginnersputindoubtondemonstrationsoftheL’HospitalRule，whichprovidedbythesixtheditiontextbookHigherMathematicseditedbytheDepartmentofMathematicsofTongjiUniversity.InordertohelpthembetterunderstandthedemonstrationsoftheL’HospitalRule，thepaperpres-entsseveralsupplements.Keywords:theL’HospitalRule;dimensionless;indeterminateform同济大学主编的《高等数学》第六版第三章第二节洛必达法则定理1的证明中，不少学生对“因为f(x)F(x)当x→a时的极限与f(a)和F(a)无关，所以可以假定f(a)=F(a)=0”存在疑惑，为什么可以假定f(a)=F(a)=0?如果不等于0怎么办?为解决这些疑惑，笔者对定理1的证明作了些补充。另外，教材中定理2和!型未定式的洛必达法则证明未给出，本文作了补充，便于学生自学。文献［1］利!用微分中值定理对!型未定式的洛必达法则进行了证明，文献［2］用牛顿－莱布尼兹公式证明了洛必!达法则，文献［3］给出了洛必达法则及斯铎兹定理的一种简便证法。本文则以定理1的结论为基础对其进行了证明，对于初学者来说容易理解掌握。1主要定理及证明首先，讨论x→a时未定式0的情形。0定理1设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零，收稿日期:2011－04－15基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目(61005046);陕西师范大学重点教学改革研究项目(ZDXMZYJS051)作者简介:马丽娜(1980—)，女，青海西宁人，讲师，博士。研究方向:不确定性推理。2x→!F(x)=lim第5期马丽娜等:关于洛必达法则证明的几点补充81(2)在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，(3)limf'(x)x→aF'(x)存在(或为无穷大)，那么limf(x)=limf'(x)x→aF(x)x→aF'(x)证明因为在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在，则函数f(x)及F(x)在点a的这一去心邻域内都连续，在点a处可能连续，也可能间断。①若函数f(x)及F(x)在点a处连续，则由条件(1)可知，必有f(a)=limf(x)=0，F(a)=limF(x)x→ax→a=0。设x是点a的这一邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，函数f(x)及F(x)满足柯西中值定理的条件，因此有f(x)f(x)－0f(x)－f(a)f'(ξ)F(x)=F(x)－0=F(x)－F(a)=F'(ξ)(ξ在x与a之间)当x→a时，ξ→a，两端求极限得limf(x)f'(ξ)f'(x)x→aF(x)=limF'(ξ)=limF'(x)ξ→ax→a②若函数f(x)及F(x)在点a处间断，而limf(x)=0，limF(x)=0，则点a只能是函数f(x)及F(x)0，x=ax→a0，x=ax→a的可去间断点，令φ(x)=f(x)，x≠a，ψ(x)=F(x)，x≠a，则函数φ(x)及ψ(x)在点a处连续。设x是点a的这一邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，函数φ(x)及ψ(x)满足柯西中值定理的条件，因此有φ(x)φ(x)－0φ(x)－φ(a)φ'(ξ)ψ(x)=ψ(x)－0=ψ(x)－ψ(a)=ψ'(ξ)(ξ在x与a之间)当x→a时，ξ→a，则limf(x)φ(x)φ'(ξ)f'(x)x→aF(x)=limψ(x)=limψ'(ξ)=limF'(x)x→aξ→ax→a对于函数f(x)在点a处连续，F(x)在点a处间断以及函数F(x)在点a处连续，f(x)在点a处间断的情形可以类似证明。对于x→a时未定式0的情形，书中给出了定理2，但未给予证明，在此作一补充。0定理2设(1)当x→!时，函数f(x)及F(x)都趋于零，(2)当x＞N时f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)≠0，(3)limf'(x)x→!F'(x)存在(或为无穷大)，那么limf(x)=limf'(x)x→!F(x)x→!F'(x)证明令t=1，当x→!时，t→0，则由条件(1)有limf(x)=limf(1)=0，limF(x)=limF(1)=0，x从而由定理1的结论知x→!t→0tx→!t→0tf(1)f'(1)·(－1)f'(1)limf(x)t→0t1=limt→0t1t1=limt→0t1=limf'(x)x→!F'(x)F()tF'()·(－)tt2F'(t)对于!型未定式的洛必达法则书中没有给出定理及证明，本文加以补充。!x→ax→ax→ax→a=!22282青海大学学报第29卷定理3设(1)limx→af(x)=limx→a?F(x)?=!，(2)在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，(3)limf'(x)x→aF'(x)存在(或为无穷大)，那么limf(x)=limf'(x)x→aF(x)x→aF'(x)证明先证当limf(x)x→aF(x)分两种情形考虑:存在时，必有limf(x)x→aF(x)1=limf'(x)x→aF'(x)成立。1①当limf(x)≠0时，limf(x)=limF(x)，由条件(1)知lim1=lim1=0，所以limF(x)为0型x→aF(x)x→aF(x)x→a1f(x)x→af(x)x→aF(x)x→a10f(x)未定式，所以由定理1可知1－1·F'(x)limF(x)=limF(x)=limf(x)·F'(x)x→a1f(x)x→a－1f2(x)·f'(x)x→aF2(x)f'(x)由该式可知limf'(x)≠0，因为若limf'(x)=0，则limf(x)1=limF(x)=limf2(x)F2(x)=!，与limf(x)x→aF'(x)x→aF'(x)x→aF(x)x→a1x→af'(x)x→aF(x)f(x)F'(x)存在矛盾。又由条件(3)知，limf'(x)x→aF'(x)存在(或为无穷大)，则limF'(x)必存在，从而有x→af'(x)1limf(x)F(x)=limf(x)·limF'(x)x→aF(x)=lim1f(x)即1=limf(x)x→aF(x)x→aF(x)·limF'(x)x→af'(x)x→af'(x)所以limf(x)=limf'(x)x→aF(x)x→aF'(x)②当limf(x)=0时，取常数k≠0，则有k=limf(x)+k=limf(x)+kF(x)，因为k≠0，故可用①x→aF(x)的结论，有x→aF(x)x→aF(x)limf(x)+kF(x)f'(x)+kF'(x)f'(x)x→aF(x)=limF'(x)=limF'(x)+k所以limf'(x)x→aF'(x)+k=k则limf'(x)f(x)x→aF'(x)=0=limF(x)再证当limf(x)x→aF(x)=!时，limf'(x)=!x→aF'(x)当limf(x)x→aF(x)定理4设时，limF(x)x→af(x)=0，则由②的结论可知limF'(x)x→af'(x)=0，即limf'(x)=!x→aF'(x)2x→!F(x)=lim第5期马丽娜等:关于洛必达法则证明的几点补充83(1)limf(x)=limF(x)=!，x→!x→!(2)当x＞X时f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)≠0，(3)limf'(x)x→!F'(x)存在(或为无穷大)，那么limf(x)=limf'(x)x→!F(x)x→!F'(x)证明［1］令t=1，当x→!时，t→0，则由条件(1)有limf(1)=limf(x)=!，limF(1)=limF(x)=x!，从而由定理3的结论知，f(1)t→0tf'(1)·(－1)x→!f'(1)t→0tx→!limf(x)t→0t1=limt→0t1t1=limt→0t1=limf'(x)x→!F'(x)2结语F()tF'()·(－)tt2F'(t)本文结合自身教学实践，针对教学过程中学生对洛必达法则存在的疑惑，对教材中洛必达法则的证明给予了详细的补充，帮助学生更好地理解定理的证明过程，也便于初学者自学。对于定理3，文献［1］利用微分中值定理进行了证明，但过程比较繁琐，初学者理解起来有一定的难度，本文则利用定理1的结论对其进行了详细的证明，初学者更容易理解一些。当然，对于洛必达法则的证明还有其他更多简单明了的证法，有待今后不断地去探索。参考文献:［1］胥爱霞，归根元.关于洛必达法则的补充证明［J］.连云港职业技术学院学报，2006，19(4):79－80.［2］张志军，萧礼.用牛顿莱布尼兹公式证明洛必达法则［J］.西北师范大学学报:自然科学版，1998，34(4):95.［3］代恩华.洛必达法则及斯铎兹定理的一种简便证法［J］.高等数学研究，2010，13(5):51－54.(责任编辑唐宏伟)(上接第76页)矿地质条件较好，在预查区北区找到铜多金属矿、南区找金具有较大的潜力。从现今发现的矿化点情况看，通过加大找矿力度，在该地区寻找铜及多金属矿还是有一定找矿前景，尤其是在深部找矿的潜力较大。参考文献:［1］韩生福，杨生德，潘彤，等.青海省第三轮成矿远景区划研究及找矿靶区预测［R］.西宁:青海省国土资源厅，2005:239－241.［2］吴廷祥.青海铜峪沟铜矿床同位素地质特征［J］.青海地质，1991(1):11.［3］赵呈祥，张培表，崔明.对铜峪沟铜矿床成因的再认识及其找矿意义［J］.青海国土经略，2005(1):1－3.［4］张汉文.青海铜峪沟铜矿床的矿化特征、形成环境和矿床类型［J］.西北地质，2001(4):30－42.［5］韩最忠，向运川.青海省兴海县在日沟－索拉沟地区铜(铅、锌、银)矿物化探普查评价报告［R］.西宁:青海省地球物理勘查队，1991:20－21.(责任编辑唐宏伟)