Levinson定理-中国科学院高能物理研究所电子邮件系

1散射相移和束缚态数目的关系------Levinson定理马中骐中国科学院高能物理研究所e-mail:[e-mail]2报告内容1.Jost函数方法证明薛定谔方程的Levinson定理3.结论2.Sturm-Liouville定理方法证明薛定谔方程的Levinson定理345GEORGESUDARSHANhasbeennominatedfortheNobelPrizesixtimesandhasreceivedmanyawards,includingtheBoseMedalin1977.6Thisbookprovidesapedagogicalintroductiontotheformalism,foundationsandapplicationsofquantummechanics.Thisbookisintendedforuseasatextbookforbeginninggraduateandadvancedundergraduatecourse.78(2)(12)91011(20)12(15b)(26)(24)式前面13Jost函数方法证明Levinson定理U(r)在原点比更少奇异在无穷远比收敛更快讨论有球对称势的薛定谔方程2r2r14Jost函数方法证明Levinson定理U(r)在原点比更少奇异在无穷远比收敛更快讨论有球对称势的薛定谔方程2r15Jost函数方法1.Jost函数解析性质和零点重数的研究很困难。Levinson定理：2.对势函数的条件太苛刻。3.定理中包含项4.推广到Dirac方程很困难。161.。在区域[a,b],,c是Y第一个零点2.在[a,b]内y两个相邻零点间至少有Y一个零点。3.在[a,b]内y第k个零点在Y第k零点的右面。Sturm比较定理17一个相角随能量单调变化“FortheSturm-Liouvilleproblem,thefundamentaltrickisthedefinitionofaphaseanglewhichismonotonicwithrespecttotheenergy.”ProfessorC.N.YangpointedoutInatalkonmonopole(1981)18Sturm-Liouville定理径向函数的Wronskian波函数对数微商19Sturm-Liouville定理对取在无穷远趋于零，两侧波函数对数微商都随能量单调变化，随势函数也单调变化。20薛定谔方程的Levinson定理现在研究束缚态，E0,在区域解为其中，对数微商为21薛定谔方程的Levinson定理在区域，自由粒子（）解为对数微商为22薛定谔方程的Levinson定理随着由0增加至1，保持不变，而要发生变化。由于单调性，只要注意的变化23薛定谔方程的Levinson定理每当下降而经过值时，一个散射态变成了一个束缚态，反之亦然。与此同时，跳进24薛定谔方程的Levinson定理临界情况，是束缚态，取负值。在区域有解是半束缚态，取无穷大。25薛定谔方程相移的性质在区域径向方程依赖于势，设解为可算得对数微商为在区域径向方程可解，E0时为26薛定谔方程相移的性质由衔接条件解得27薛定谔方程相移的性质1.相移周期性的约定过去和实际只要势函数不太奇异，28薛定谔方程相移的性质1.相移周期性的约定2.取截断势可分两区域和分别计算，在区域为自由粒子，解已知。3.在处用波函数对数微商衔接条件29薛定谔方程相移的性质对给定的因为所以要计算时的相移值30薛定谔方程相移的性质时的相移为31薛定谔方程相移的性质1.由于因子，很小，32薛定谔方程相移的性质1.由于因子，很小，例外：和时，是半整数33薛定谔方程相移的性质1.由于因子，很小，例外：和时，是半整数随跳跃变化，每次跳随跳跃变化，每次跳34薛定谔方程相移的性质1.很小时，2.随变化，变化而经过值时，不变。减少而经过值时，增加一，即跳进，反之亦然。35薛定谔方程相移的性质1.很小时，2.随变化，变化而经过值时，不变，减少而经过值时，增加一，即跳进。3.临界情况，36薛定谔方程相移的性质1.很小时，2.随变化，变化而经过值时，不变，减少而经过值时，增加一，即跳进。3.临界情况，对小的E值，已经是负值。37薛定谔方程的Levinson定理半束缚态发生在S波的临界情况：当势能满足条件时有38势函数在无穷远存在尾巴的情况满足Levinson定理，而满足修改的Levinson定理。39Newton的两个反例Levinson定理不会成立，但修改的Levinson定理成立。反例1：40Newton的两个反例反例2：41讨论1.用Jost函数的解析性质证明Levinson定理，势函数需要满足更强的条件原条件是2.在正常情况下但在特殊条件下，原来的Levinson定理不成立。还有非定域势，并存在正能束缚态情况。3.在无穷远存在形式的势能尾巴时，Levinson定理不成立，但我们的修改的Levinson定理成立。4.我们的方法便于推广，如推广到Dirac方程。如正无穷方势阱，42Thankyou!