第八章--线性规划模型的建立与应用

第八章线性规划模型及其应用第七章线性规划模型的建立与应用一、线性规划的概念二、线性规划三要素三、技术经济研究中运用线性规划方法的特点及局限性四、线性规划模型的基本结构五、线性规划模型的一般形式六、线性规划模型的基本假设第一节线性规划模型的基本原理线性规划是指如何最有效或最佳地谋划经济活动。它所研究的问题有两类：一类是指一定资源的条件下，达到最高产量、最高产值、最大利润；一类是，任务量一定，如何统筹安排，以最小的消耗取完成这项任务。如最低成本问题、最小投资、最短时间、最短距离等问题。前者是求极大值问题，后者是求极小值问题。总之，线性规划是一定限制条件下，求目标函数极值的问题。第一节线性规划模型的基本原理一、线性规划的概念《经济大词典》定义线性规划：一种具有确定目标，而实现目标的手段又有一定限制，且目标和手段之间的函数关系是线性的条件下，从所有可供选择的方案中求解出最优方案的数学方法。第一节线性规划模型的基本原理一、线性规划的概念二、线性规划三要素1.目标函数最优化——单一目标多重目标问题如何处理？2.实现目标的多种方法若实现目标只有一种方法不存在规划问题。3.生产条件的约束——资源是有限的资源无限不存在规划问题。第一节线性规划模型的基本原理三、技术经济研究中运用线性规划方法的特点及局限性第一节线性规划模型的基本原理特点：1.可以使研究对象具体化、数量化。可以对所研究的技术经济问题做出明确的结论；2.线性3.允许出现生产要素的剩余量4.有一套完整的运算程序三、技术经济研究中运用线性规划方法的特点及局限性第一节线性规划模型的基本原理局限性：1.线性规划它是以价格不变和技术不变为前提条件的，不能处理涉及到时间因素的问题。因此，线性规划只能以短期计划为基础。2.在生产活动中，投入产出的关系不完全是线性关系，由于在一定的技术条件下，报酬递减规律起作用，所以要满足线性假定是不可能的。在线性规划解题中，常常把投入产出的非线性关系转化为线性关系来处理，以满足线性的假定性，客观上产生误差。3.线性规划本身只是一组方程式，并不提供经济概念，它不能代替人们对现实经济问题的判断。四、线性规划模型的基本结构1.决策变量——未知数。它是通过模型计算来确定的决策因素。又分为实际变量——求解的变量和计算变量，计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（下限）。2.目标函数——经济目标的数学表达式。目标函数是求变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极值问题。3.约束条件——实现经济目标的制约因素。它包括：生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量、质量要求的限制（主观约束条件）、特定技术要求和非负限制。第一节线性规划模型的基本原理四、线性规划模型的基本结构MinZ=10x1+20x2s.t.x1+x2≥103x1+x2≥15x1+6x2≥15x1≥0,x2≥0约束条件目标函数第一节线性规划模型的基本原理五、线性规划模型的一般形式MaxZ=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1(1)a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2(2)……am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm(m)x1，x2，…xn≥0第一节线性规划模型的基本原理极大值模型njxbxaxcxcxcZjinjjijnn,,3,2,1,0max12211其简缩形式为第一节线性规划模型的基本原理极大值模型五、线性规划模型的一般形式MinZ=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn≥b1(1)a21x1+a22x2+…+a2nxn≥b2(2)……am1x1+am2x2+…+amnxn≥bm(m)x1，x2，…xn≥0第一节线性规划模型的基本原理极小值模型njxbxaxcxcxcZjinjjijnn,,3,2,1,0min12211其简缩形式为第一节线性规划模型的基本原理极小值模型其简缩形式为第一节线性规划模型的基本原理极大值模型可用向量表示：01jnjjjxbxPCXzMaxnxxxX21mjjjjaaaP21bmbbb21C=(c1,c2,……cn)六、线性规划模型的基本假设1.线性目标函数和约束条件2.可分性活动对资源的可分性3.可加性活动所耗资源的可加性，资源总需要量为多种活动所需资源数量的总和。4.明确性目标的明确性5.单一性期望值的单一性6.独立性变量是独立的表示各种作业对资源都是互竟关系，没有互助关系7.非负性第二节线性规划模型的建立与图解法求解一、建模二、线性规划的求解——图解法一、建模[例1]某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表1给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元，求满足营养需要的饲料最小成本配方。甲原料x1乙原料x2（营养成分单位/原料单位）（营养成分单位/原料单位）钙1110蛋白质3115热量1615营养成分配合饲料的最低含量表1甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量一、建模设配合饲料中，用甲x1单位，用乙x2单位，则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制条件后，可得这一问题的线性规划模型如下：MinZ=10x1+20x2x1+x2≥103x1+x2≥15x1+6x2≥15x1≥0,x2≥0一、建模[例2]某农户计划用12公顷耕地生产玉米，大豆和地瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1公顷，需6个劳动日，资金36元，可获净收入200元；生产1公顷大豆，需6个劳动日，资金24元，可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动日，资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排才能使总的净收入最高。设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为x1、x2和x3公顷，根据问题建立线性规划问题模型如下：一、建模MaxZ=200x1+150x2+100x3x1+x2+x3≤12(1)6x1+6x2+2x3≤48(2)36x1+24x2+18x3≤360(3)x1≥0，x2≥0，x3≥0一、建模[例3]某农户有耕地20公顷，可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投资280元，每公顷投工6个，可获收入1000元，乙方式每公顷需投资150元，劳动15个工日，可获收入1200元，该户共有可用资金4200元、240个劳动工日。问如何安排甲乙两种方式的生产，可使总收入最大?解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷，总收入为Z，则有：一、建模MaxZ=1000x1+1200x2280x1+150x2≤42006x1+15x2≤240x1+x2≤20x1≥0,x2≥0二、线性规划的求解——图解法（一）可行解（二）可行域（三）最优解（四）最优性定理（五）最大化问题的图解法（六）最小化问题的图解法二、线性规划的求解——图解法（一）可行解线性规划问题的可行解是指，满足规划中所有约束条件及非负约束的决策变量的一组取值，其仅与约束条件有关而与目标函数值的大小无关。（二）可行域可行域是由所有可行解构成的集合。根据线性规划的基本理论，任一个线性规划问题的可行域，都是一个有限或无限的凸多边形，凸多边形的每个角，称为可行域的极点。（三）最优解线性规划的最优解是指，使目标函数值达到最优(最大或最小)的可行解。一个线性规划问题可以是有解的，也可能是无解的，最优解的个数可能是惟一的，也可能是有无穷多个，即决策变量有许多组不同的取值，都使目标函数达到同一个最优值。二、线性规划的求解——图解法（四）最优性定理若一个线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的某个极点上找到一个最优解。同时仍有可能有其他最优解存在，但它们也只可能存在于可行域的其他极点或是边界上。如果我们的目的是找出一个最优解而不是全部最优解，这一定理实际上是把寻找的范围，从可行域中的无穷多个可行点，缩小到可行域的有限几个极点上。二、线性规划的求解——图解法（五）最大化问题的图解法第一步，找出问题的可行域第二步，在可行域中寻求最优解，方法有两种：A.查点法B.图解法二、线性规划的求解——图解法O2040x120ABCD280x1+150x2=42006x1+15x2=240x1+x2=20x2Z=1000x1+1200x2A(0,16)B(6.7,13.3)C(9.2,10.8)D(15,0)ZA=19200ZB=22660ZC=22160ZD=15000二、线性规划的求解——图解法（五）最小化问题的图解法例：MinZ=10x1+20x2s.t.x1+x2≥103x1+x2≥15x1+6x2≥15x1≥0,x2≥0例题设配合饲料中，用甲x1单位，用乙x2单位，则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制条件后，可得这一问题的线性规划模型如下：MinZ=10x1+20x2x1+x2≥103x1+x2≥15x1+6x2≥15x1≥0,x2≥01515105105OABCDx2x1x1+6x2=15可行域3x1+x2=15x1+x2=1010x1+20x2＝0A(0,15)B(2.5,7.5)C(9,1)D(15,0)ZA=300ZB=175ZC=110ZD=150求出线性模型的可行域4.某房产开发公司可以选择建造二室户、三室户和四室户的住宅，现在需要确定每种住宅的数量，以获得最大利润，但要满足以下一些约束条件：（1）这项工程的总预算不超过900万元；（2）为了使这项工程在经济上可行，总单元数必须不少于350套。（3）基于市场的分析，每类住宅的最大百分数为：二室户套数为总数的20%，三室户套数为总数的60%，四室户套数为总数的40%。（4）建筑造价（包括土地、建筑和工程费用，室内设施、绿化等）二室户:2万元/套，三室户:2.5万元/套,四室户:3万元/套（5）扣除利息，税收等之后的纯利润为：二室户:0.2万元/套，三室户:0.3万元/套,四室户:0.4万元/套。解：设二室户的套数为X1、三室户的套数为X2，四室户的套数为X3，总套数为X4+350,则有目标函数：maxZ=0.2X1+0.3X2+0.4X3约束条件：2X1+2.5X2+3X3≦900X1+X2+X3≧350X1≦0.2(X4+350)X2≦0.6(X4+350)X3≦0.4(X4+350)求解得X1=45，X2=210，X1=95，代入目标函数得Z=110万元。第三节单纯形法单纯形方法是一种较为完善的、步骤化的线性规划问题求解方法。它的原理涉及到较多的数学理论上的推导和证明，我们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及每一步的经济上的含义。为更好地说明问题，我们仍结合实例介绍这种方法第三节单纯形法一、线性规划的标准型二、线性规划问题的解三、单纯形法四、单纯型表第三节单纯形法一线性规划的标准型LP目标函数有的要求实现最大化，有的要求实现最小化，约束条件可以是“=”、“=”、“＝”，这种多样性给讨论问题带来不便。为了便于讨论，我们规定线性规划问题的标准形式为：MaxZ=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn=b1(1)a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2(2)……am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(m)x1，x2，…xn≥0第三节单纯形法其简缩形式为一线性规划的标准型njxbxaxcxcxcZjinjjijnn,,3,2,1,0max12211用向量表示01jnjjjxbxPnxxxX21mjjjjaaaP21bmbbb21其中C=(c1,c2,……cn)向量Pj是其对应变量xj的系数向量。第三节单纯形法一线性规划的标准型用矩阵描述CXzMax