函数解析式求法总结及练习题

第1页共3页2[()]()()ffxafxbaaxbbaxabb函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf．解：设baxxf)()0(a，则342baba，3212baba　或　　．32)(12)(xxfxxf　　或　　．二、配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域．例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式．解：2)1()1(2xxxxf，21xx，2)(2xxf)2(x．三、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例3已知xxxf2)1(，求)1(xf．解：令1xt，则1t，2)1(tx．xxxf2)1(，,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(x，xxxxf21)1()1(22)0(x．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式．解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点．则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上，xxy2．把yyxx64代入得：)4()4(62xxy．整理得672xxy，67)(2xxxg．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf．解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组，得：xxxf323)(．例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)()(),()(xgxgxfxf，又11)()(xxgxf①，用x替换x得：11)()(xxgxf，即11)()(xxgxf②，解①②联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()fx；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．例7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf．解对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf．再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf．例5：已知(0)1,()()(21),ffabfabab求()fx。解析：令0,a则2()(0)(1)1fbfbbbb令bx则2()1fxxx小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条第2页共3页件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．例8设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的Nba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(，，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，又1)()1(,1)1(xxfxff故①令①式中的x＝1，2，…，n－1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)fffffnfnn，，，将上述各式相加得：nfnf32)1()(，2)1(321)(nnnnf，Nxxxxf,2121)(2三、练习（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3,求f(x)的解析式.2．若xxxf1)1(,求)(xf.（二）．配变量法3．已知221)1(xxxxf,求)(xf的解析式.4．若xxxf2)1(,求)(xf.（三）．待定系数法5．设)(xf是一元二次函数,)(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,求)(xf与)(xg.6．设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求)(xf的表达式.（四）．解方程组法7．设函数)(xf是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,求)(xf的解析式.8．（1）若xxxfxf1)1()(,求)(xf.（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).（五）．特殊值代入法9．若)()()(yfxfyxf,且2)1(f，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff.10．已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf（六）．利用给定的特性求解析式.11．设)(xf是偶函数,当x＞0时,xexexf2)(,求当x＜0时，)(xf的表达式.12．对x∈R,)(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时,xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表达式.例6、已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f。(1)求)0(f的值；(2)求)(xf的解析式。第3页共3页练习求函数的解析式例1．已知f(x)=22xx，求f(1x)的解析式．（代入法/拼凑法）变式1．已知f(x)=21x，求f(2x)的解析式．变式2．已知f(x+1)＝223xx，求f(x)的解析式．例2．若f[f(x)]＝4x＋3，求一次函数f(x)的解析式．（待定系数法）变式1．已知f(x)是二次函数，且211244fxfxxx，求f(x)．例3．已知f(x)2f(－x)＝x，求函数f(x)的解析式．（消去法/方程组法）变式1．已知2f(x)f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式．变式2．已知2f(x)f1x＝3x，求函数f(x)的解析式．例4．设对任意数x，y均有222233fxyfyxxyyxy，求f（x）的解析式．（赋值法/特殊值法）变式1．已知对一切x，y∈R，21fxyfxxyy都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．