微分几何练习题库及参考答案(已修改)

1《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)ijk]ttt138ijk．2．设f()(sin)ijttt，2g()(1)ijttte，求0lim(()())tftgt0．3．已知42r()d=1,2,3tt，64r()d=2,1,2tt，2,1,1a，1,1,0b，则4622()()artdt+bartdt=3,9,5.4．已知()rta（a为常向量），则()rttac．5．已知()rtta，（a为常向量），则()rt212tac．6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线()rrt在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点00(,)uv处v0urr，则00(,)uv为曲面的_正常______点.12．已知()(2)(ln)fttjtk，()(sin)(cos)gttitj，0t，则40()dfgdtdt4cos62．13．曲线3()2,,trttte在任意点的切向量为22,3,tte．14．曲线()cosh,sinh,rtatatat在0t点的切向量为0,,aa．15．曲线()cos,sin,rtatatbt在0t点的切向量为0,,ab．16．设曲线2:,,ttCxeyezt，当1t时的切线方程为2111zeeyeex．17．设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式2212cossinnkkk中，是方向(d)与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK.22．已知r(,),,uvuvuvuv，其中2,sinutvt，则drdt2cos,2cos,2costtttvtut．23．已知r(,)coscos,cossin,sinaaa，其中t，2t，则2dr(,)dtsincos2cossin,sinsin2coscos,cosaataata．24．设(,)rruv为曲面的参数表示，如果0uvrr，则称参数曲面是正则的；如果:()rGrG是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面r(,),,0uvuv的第一基本形式为22dduv，面积微元为dduv．27．悬链面r(,)coshcos,coshsin,uvuvuvu第一基本量是22cosh0,coshEuFGu，．28．曲面zaxy上坐标曲线0xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)axyaxay.29．正螺面(,)cos,sin,ruvuvuvbv的第一基本形式是2222d()duubv．30．双曲抛物面r(,)(),(),2uvauvbuvuv的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)dd(4)dabvuabuvuvabuv．31．正螺面(,)cos,sin,ruvuvuvbv的平均曲率为0．32．方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是22()020nkdLduMdudvNdv或．33.方向(d)d:duv和(δ)δ:δuv共轭的充要条件是(,)0()0drδrLduδuMduδvdvδuNdvδvII或．34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN．35.(d)d:duv是主方向的充要条件是22dddd00dddddvdudvduEuFvLuMvEFGFuGvMuNvLMN或．36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d)uv是主方向，则nndnkdrk，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,gnkkk之间的关系是222gnkkk．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为3cossin22cossinvuEGd=dsEGGEdu=dsEdv=dsG．42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知(),,ttrtete，则r(0)为（A）．A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2．已知()()rtrt，为常数，则()rt为（C）．A.ta；B.a；C.tea；D.ea.其中a为常向量．3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．4.曲面在每一点处的主方向（A）A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.6.已知r(,),,xyxyxy，求(1,2)dr为（D）．A.d,d,d2dxyxy；B.dd,dd,0xyxy；C.d-d,d+d,0xyxy；D.d,d,2ddxyxy.7．圆柱螺线cos,sin,rttt的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角4；D.有固定夹角3.8．设平面曲线:()Crrs，s为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9．直线的曲率为（B）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率:()Crrs不正确的是（D）．A.()()kss；B.()()kss，为()s的旋转角；C.()ks；D.()|()|ksrs.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．4A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．下列论述不正确的是（D）．A.,,均为单位向量；B.；C.；D..13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.14．2sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（D）．A.垂直；B.平行；C.成3的角；D.成4的角.15．椭球面2222221xyzabc的参数表示为（C）．A.,,coscos,cossin,sinxyz；B.,,coscos,cossin,sinxyzab；C.,,coscos,cossin,sinxyzabc；D.,,coscos,sincos,sin2xyzabc.16．曲面2233(,)2,,ruvuvuvuv在点(3,5,7)M的切平面方程为（B）．A.2135200xyz；B.1834410xyz；C.756180xyz；D.1853160xyz.17．球面(,)coscos,cossin,sinruvRuvRuvRu的第一基本形式为（D）．A.2222(dsind)Ruuv；B.2222(dcoshd)Ruuv；C.2222(dsinhd)Ruuv；D.2222(dcosd)Ruuv.18．正圆柱面(,)cos,sin,ruvRvRvu的第一基本形式为（C）．A.22dduv；B.22dduv；C222dduRv；D.222dduRv.19．在第一基本形式为222(d,d)dsinhduvuuvI的曲面上，方程为12()uvvvv的曲线段的弧长为（B）．A．21coshcoshvv；B．21sinhsinhvv；C．12coshcoshvv；D．12sinhsinhvv．20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A．0E；B．0F；C．0G；D．0M．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．523．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．A．1ln2EuE；B．1ln2EvG；C．1ln2GvE；D．1ln2EuG．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1.向量函数()rrt具有固定长度，则()()rtrt.√2.向量函数()rrt具有固定方向，则()()rtrt.√3.向量函数()rt关于t的旋转速度等于其微商的模()rt.×4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.×5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.√6.圆柱面{cos,sin,},rRRzz线是渐近线.√7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.×8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√9.等距变换一定是保角变换.√10.保角变换一定是等距变换.×11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.×12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．×13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量．×16.曲面上的直线一定是测地线．√17.微分方程A(,)B(,)0uvduuvdv表示曲面上曲线族.×18.二阶微分方程22(,)2(,)(,)0AuvduBuvdudvCuvdv总表示曲面上两族曲线.×19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos1(),sin(tayttax的20t一段的弧长．解旋轮线()(sin),(1cos)rtattat的切向量为()cos,sinrtaatat，则在20t一6段的弧长为：2200()d21cosd8srttatta．2．求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知()sincos,cossin,ttrtttttttete，()2cossin,2sincos,2ttrtttttttete，在原点，有(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)rr，又()(),rr