M03简单的优化模型

第三章简单的优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机2第三章简单优化模型（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中.,...,,,)(mihi210x.,...,,),)(()(piggii2100xx设计变量（决策变量）目标函数),...,,,(nxxxx321x将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数)(xfu在约束条件和x)(xfx可行域一优化模型的一般意义第八节、多元函数的极值及其求法2.拉格朗日乘数法先寻求函数在条件下取得极值的必要条件。目标函数约束条件(,)zfxy(1)(,)0xy(2)(,,)(,)(,),Lxyfxyxy先作拉格朗日函数(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxyyfxyxyfxyxyxy4第三章简单优化模型7第三章简单优化模型8第三章简单优化模型（三）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。9第三章简单优化模型10第三章简单优化模型11第三章简单优化模型•现实世界中普遍存在着优化问题.•静态优化问题指最优解是数(不是函数).•建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数.•求解静态优化模型一般用微分法.静态优化模型12第三章简单优化模型工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。3.1存贮模型13第三章简单优化模型问题1不允许缺货的存贮模型配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。14第三章简单优化模型问题分析与思考•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元15第三章简单优化模型•这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小16第三章简单优化模型模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。17第三章简单优化模型模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.如图。q(t)=Q-rt，Q=rT.一周期总费用TQccC2~21每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTcc18第三章简单优化模型一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT(A的面积)一个周期的总费用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均费用221rTcTcTCTC)(19第三章简单优化模型221rTcTcTCT)(min满足求用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小费用rccC212著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。模型求解20第三章简单优化模型rccT212212crcrTQrccC212当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费c2增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费r增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。模型分析QTc,1QTc,2QTr,21第三章简单优化模型rccT212rccC2121000101001500021CTrcc，得当,,,这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别，你能解释吗？在本例中模型应用22第三章简单优化模型敏感性分析讨论参数rcc,,21有微小变化时对生产周期T影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T对c1的敏感程度记为),(1cTS111ccTTcTS),(TcdcdT11Tcrccrc1212222121212),(cTS21),(rTS23第三章简单优化模型意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5%；而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5%；日需求量增加1%时，生产周期减少0.5%。211),(cTS212),(cTS21),(rTS当rcc,,21有微小变化对生产周期影响不太大。24第三章简单优化模型思考1建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费用），在什么情况下才可以不考虑它？2建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？25第三章简单优化模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQ周期T,t=T1贮存量降到零因存贮量不足造成缺货，因此q(t)可取负值，q(t)以需求速率r线性递减，直至q(T1)=0，如图。q(t)=Q-rt，Q=rT1。26第三章简单优化模型一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费dttqcT102)(212QTc一个周期的总费用rQrTcrQccC2223221)(每天平均费用dttqcTT13)(213))((TTQrTcrQrTc223)(rQc222rTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(27第三章简单优化模型rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’28第三章简单优化模型332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR29第三章简单优化模型212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT','13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c30第三章简单优化模型,/,TTQQRQ1,,,TTQQRQ即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大，愈小，愈接近，愈接近。1）TTRQ,Q233ccc3）31c当时，，QRQQTT,,不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。模型应用31第三章简单优化模型3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大32第三章简单优化模型trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大rggrt240410天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660640g=0.133第三章简单优化模型敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1rggrt2404•设g=0.1不变5.1,6040rrrtt对r的（相对）敏感度rrttrtS/Δ/Δ),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt34第三章简单优化模型敏感性分析估计r=2，g=0.1rggrt2404研究r,g变化时对模型结果的影响•设r=2不变15.00,203gggtt对g的（相对）敏感度tgdgdtggttgtS/Δ/Δ),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt35第三章简单优化模型强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。wwpp,,,研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）2.28.1w137t0)(tQ每天利润的增值每天投入的资金ttwtptQ4)()()(