4.5.4《相似三角形判定定理的证明》

4.5相似三角形判定定理的证明两角对应相等，两三角形相似.三边对应成比例,两三角形相似.相似三角形的判定方法:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.回顾与复习知识要点两角对应相等，两三角形相似.角角AAA′B′C′ABC那么，△ABC∽△A′B′C′.√如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究1你能证明吗？可要仔细哟！解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.应用知识要点两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.边角边SAS√A1B1C1ABC那么，△ABC∽△A1B1C1.1111,ABBCkABBC如果∠B=∠B1，探究2你能证明吗？可要仔细哟！不会，和对于'''CBAABC,''''CAACBAAB思考'BB，如果这两个三角形一定会相似吗？应用.''''ABACABAC,37614'',37''CAACBAAB'AA又，解：（1）ABC∽'''.ABC两个三角形的相似比是多少？已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.172.ABCDBCACBCACACAD，25.4解:AB=6，BC=4，AC=5，CD=又∠B=∠ACD，△ABC∽△DCA，AD=应用172，若:试说明:（1）∠ABC＝∠CDB（2）CA·BD＝CB·ABCBCDACBC例2:知识要点那么，△ABC∽△A′B′C′.,ABBCACABBCACA′B′C′ABC三边对应成比例，两三角形相似.边边边SSS√探究3如果任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.画一画中，和已知：在'''CBAABC.''''''ABBCACABBCACABC'''CBA求证:△.∽△ABC'A'B'CDE''.''''''ADDEAEABBCAC∴又'''ABADABDDE证明：在线段（或它的延长线上）截取，过点再作'.''''AEACACAC,'''''''ABBCACADABABBCAC，∴同理.DEBC∴∴∥，可得交于点交ECACB''''DEA''''.ABC∽'.ADEABCABC∽∴'.AEAC∽ABC∽'''.ABC例1.下面两个三角形是否相似?为什么?解:在△ABC和△DEF中..224EDAB∴△ABC∽△ADE.(三条对应边成比例的两个三角形相似.)ABC4cm7cm5cmDEF2cm2.5cm3.5cm.25.37EFBC.25.25DFAC.DFACEFBCDEAB四.应用结论,解决问题•如图,△ABC与△A′B′C′相似吗?•你用什么方法来支持你的判断?∴△ABC∽△A′B′C′(三边对应成比例的两个三角形相似.)CBAA′B′C′解:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:.212CBBCCAACBAAB;22,102,8ACBCAB;2,10,4CACBBA有一池塘,周围都是空地.如果要测量池塘两端A、B间的距离,你能利用本节所学的知识解决这个问题吗?••AB•••DEC••2.(选做题)••CED••BA3.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．Q如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；．解（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵=，∴，=8410t∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；一、相似三角形判定定理的证明1.两角对应相等，两三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.二、相似三角形判定定理的应用2.三边对应成比例,两三角形相似.小结习题知识技能作业布置