线性方程组的解法及其应用

`线性方程组的解法及其应用Thesolutionoflinearequationanditsapplication专业：测控技术与仪器班级：2010-1班作者：刘颖学号：20100310110105摘要线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。AbstractLinearequationslinearalgebraisoneoftheimportantcomponentparts,andinreallifehasextensiveproductionuse，anditplaysanimportantroleinelectronicengineering,softwaredevelopment,personnelmanagement,transportation,etc.Insomedisciplinestudy,italsohasthereignsoflinearequationsoftheauxiliaryfunction.Inexperimentandsurveyusingthelinearequationsofthelateonthedataprocessingisveryconvenientsimplechoice.Thisarticle,focusingonhowtosolvelinearequationstoexplain,fordifferenttypesoflinearequationsofdifferentmethods,andbrieflyintroducessomeofthepracticalapplicationoflinearequations.Keywords:Homogeneouslinearequations,Nonhomogeneouslinearequation,Clem’slaw,Eliminationmethod,Matrix,Rankofmatrix,Specialsolution,Generalsolution.1.线性方程组的定义小学的时候，我们就已经学过方程，并解过一些简单方程，例如形如cbax的一元一次方程，形如dcbxax2的一元二次方程等等。到了中学，又学习了形如222211cybxacybxa的二元一次方程组。这些都可以称为简单的线性方程组。1.1一般线性方程组根据上述，所谓一般线性方程组是指形如.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（1.1）的方程组，其中nxxx,,,21代表n个未知量，m是该方程组所包含的方程的个数，),,2,1;,,2,1(njmiaij称为方程组的系数，),,2,1(mjbj称为常数项。常数项一般写在等式的右边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。1.2齐次线性方程组所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如.0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1.2）的方程组。1.3非齐次线性方程组所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。2.用克莱姆法则求解线性方程组利用克莱姆法则求解线性方程组时需要具备两个条件：线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等，（1）线性方程组的系数列行列式不等于零。2.1克莱姆法则设含有n个未知数的线性方程组.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（2.1）的系数行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211≠0，（2.2）则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为DDxDDxDDxnn,,,2211.其中Dj(j=1,2，…，n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项nbbb,,,21代替后所得到的n阶行列式，即nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111.（2.3）2.2克莱姆法则的证明用ijA乘以第i个方程,得ijinijinjijijijiAbxAaxAaxAa11,ni,2,1,那么可以得到niijinniijinjniijijniijiAbxAaxAaxAa111111,（注意：上式中只有jx的系数不为零，其余各项系数全为零.）于是jjDDx.又由于0D,所以DDxjj,nj,2,1.另证：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211111111iiinnnnnnbaabaaobaa加行加列(1,2)in121311421122330+(1)(1)(1)+iiiibDaDaDaD1(1)1(1)(1)nninnaD11220iiiinnbDaDaDaD1122iiiinnbDaDaDaD由于0D,所以1212niiiinDDDbaaaDDD，故iiDxD（1,2,in）；Axb有解且解唯一.2.3克莱姆法则在线性方程组中的应用（1）用克莱姆法则解方程组12341242341234258,369,225,4760xxxxxxxxxxxxxx.解：6741212060311512D21242075131306021207712rrrr175132127712c展开212232353010772cccc233270,72r展开故线性方程组有解。,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx（2）设曲线230123yaaxaxax通过四点（1，3）、（2，4）、（3，3）、（4，－3），求系数0123,,,aaaa.解：将四点的坐标代入曲线方程，得线性方程组01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa，其系数行列式1111124812013927141664D.又12311113114248144836,18,3392713927341664131664DD34113111131248124424,61332713931436414163DD.由克莱姆法则得方程组有惟一解。得0123313,,2,22aaaa.以上为本文对克莱姆法则的简述。综上所述，可知用克莱姆法则解n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，计算量相当大。所以在实际问题中，超过四个未知数的线性方程组一般不采用克莱姆法则求解，通常是才用一下介绍的方法。尽管如此，克莱姆法则在理论上仍然是相当重要的，因为它清楚地告诉我们，当方程组（2.1）的系数行列式不等于零时，方程组（2.1）有唯一解，又从求解公式中可以看到方程组（2.1）的解与它们的系数、常数项的依赖关系，而且以后将会看到，克莱姆法则还可以用于一般线性方程组的研究和讨论。所以对克莱姆法则的条件、结论及其求解公式必须正确掌握和运用。3.利用消元法求解线性方程组消元法是求解线性方程组的最直接、最有效、最一般的方法，它的基本思想是利用方程组中方程之间的算术运算，每次保留一个方程，消去其他方程的某一个未知量，这样一步步做下去，最后得到一个阶梯形方程组，然后通过解这个比较容易求解的阶梯形方程组而获得原方程组的解。3.1线性方程组的矩阵设含有n个未知数的线性方程组.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（3.1）该方程组的矩阵表示形式为：AX=B其中A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，X=nxxx21，B=nbbb21.称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵][BA=mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211（3.2）称为方程组（3.1）的增广矩阵。3.2消元法若用初等行变换将增广矩阵][BA化为][DC，则AX=B与CX=D是同解方程组。可以利用初等行变换将其增广矩阵][BA化简，将][BA化成阶梯形矩阵。用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵][BA化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为消元法。证明：存在初等矩阵kppp,,,21，使DCBApppk12.记ppppk12，则p可逆，即1p存在。设1x为方程组AX=B的解，即A1x=B.在上式两边左乘P，得PA1x=PB,即C1x=D说明1x也是方程组CX=D的解。反之，设2x为方程组CX=D的解，即C2x=D.在上式两边左乘1p，得DpCxp121,即A2x=B.说明2x也是方程组AX=B的解。因此，方程组AX=B与CX=D的解相同，即它们是同解方程组。3.3消元法的步骤及应用（1）解线性方程组xxxxxxxxxxxxxxxx1234123412341234215320342221.（3.3）解:先写出增广矩阵][BA，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即][BA=11122241130235111211②①③①④①()()13213340577401114011211③②④②()122200666001114011211④③()1300000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为xxxxxxxxx1234234342141666将最后一个方程乘16，再将x4项移至等号的右端，得xx341.将其代入第二个方程，解得212x.再将xx23,代入第一个方程组，解得2141xx.因此，方程组（3.3）的解为1212143241xxxx