2010理工大研究生(10级)《矩阵分析》试题+答案

1太原理工大学《矩阵分析》太原理工大学《矩阵分析》太原理工大学《矩阵分析》太原理工大学《矩阵分析》(B)(B)(B)(B)试题试题试题试题专业班级2010研研研研考试日期2020202011111111////1111////18181818时间120分钟共8页题号一二11121314151617总分分数一一一一....填空题（每小题填空题（每小题填空题（每小题填空题（每小题3333分，共分，共分，共分，共15151515分）分）分）分）1.设可逆线性变换T在基nααα,,,21⋯下的矩阵为A，则从基nααα,,,21⋯到基nTTTααα,,,21⋯的过渡矩阵为；2.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=λλλλλ20011001)(A，则)(λA的不变因子为；3.如果实对称矩阵A满足0≠+EA，而0)2)((=−+EAEA，则=2A；4.设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=πππ100100A，则=Acos；5.设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=6016514035322051340A，则A的实特征值的个数为.二二二二....单项选择题（每小题单项选择题（每小题单项选择题（每小题单项选择题（每小题3333分，共分，共分，共分，共15151515分）分）分）分）6.线性空间{})2(,|≥=∈=×nAARAAVTnn的维数是（）(A))1(+nn；(B))1(−nn；(C)2)1(+nn；(D)2)1(−nn.7.设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=1100010000100001A，则A的最小多项式为（）(A))1()1(3+−λλ；(B))1)(1(2−−λλ；(C))1)(1(+−λλ；(D))1)(1(2+−λλ.8.设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=110110321A，则=+−2009201020112AAA（）(A)0；(B)E；(C)A；(D)2A.9.设A是正规矩阵，则（）(A)A是正定矩阵；(B)A的特征值均为实数；(C)A是正交矩阵；(D)A可对角化.10.下列命题不正确的是（）(A)矩阵A存在左逆矩阵的充分必要条件是A列满秩；(B)任意矩阵的加号逆总是唯一的；(C)对任意矩阵A，恒有AA=−−)(；(D)bAx=有解时，通解可表示为：zAAEbAx)(−−−+=，其中z是与x同维数的任意列向量.2三三三三....证明与计算题（每小题证明与计算题（每小题证明与计算题（每小题证明与计算题（每小题10101010分，共分，共分，共分，共70707070分）分）分）分）11.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000430002A，求1x，∞x，Fx，2x，)(Aρ.12.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=111010101A，在3R上定义变换T为：AxTx=，(1)验证T是3R上的线性变换；(2)求T在基TTT)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(321===ααα下的矩阵.13.设nnRA×∈，{}nRxxAxxV∈==,|λ(1)证明V是nR的一个线性子空间；(2)当⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200020001A时，对λ的不同取值，求V的一个基与维数.14.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=502613803A，AEA−=λλ)(，(1)求)(λA的Smith标准形；(2)求A的Jordan标准形.15.复数域C作为实数域R上的一个2维线性空间，(1)求由基iee==21,1到基i+==1,121αα的过渡矩阵，并给出复数yixz+=在基21,αα下的坐标；(2)定义C上的一个内积，使21,αα在该内积下成为C的一个标准正交基，并求向量i−=1α在该内积下的长度.16.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011112101A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001b，(1)求A的满秩分解；(2)求A的加号逆+A；(3)求矛盾方程组bAx=的最小二乘解的通解.17.设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211101001A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=tttf1)(，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1110x，(1)求Ate;(2)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()(xxtfAxdtdx.3456