湖南城市学院-随机过程讲稿(5)

3.1线性变换的概念及基本定理3.2随机过程的微分和积分3.3随机微分方程3.4随机过程通过线性系统的分析第三章随机过程的线性变换3.5随机序列的线性变换3.1.1、线性变换的基本概念1、普通函数的变换概念，假设给定一个函数x(t)，如果按照某种法则T能够确定一个新的函数y(t)，那么我们就说y(t)是x(t)经过变换T后的结果，记为：y(t)=T[x(t)]，其中T称为从x(t)到y(t)的变换。[定义3.1]给定一个随机过程X(t)，对于他的每一个样本函数x(t)，都能够确定一个对应的函数y(t)，于是我们得到一个新的随机过程Y(t),记为：Y(t)=T[X(t)]，其中T称为从随机过程X(t)到Y(t)的变换。Tx(t)（样本函数）X(t)（随机过程）y(t)（样本函数）Y(t)（随机过程）图1随机过程的变换示意图2、对于变换可以分为确定性变换和随机性变换。即，如果e1和e2是两个实验结果，且有x(t,e1)=x(t,e2)，其变换结果有y(t,e1)=y(t,e2)，则称变换T为确定性变换，否则称为随机性变换。线性变换线性系统：就是工作过程可以用线性微分方程描述的系统，对于离散信号和系统而言，凡是工作过程可用线性差分方程描述的系统称为线性系统。高放变频中放检波限幅低放负载天线本振图2通信接收机典型结构图线性系统非线性系统3、设某线性系统输入端加一信号x(t)，则在输出端得到响应信号y(t)，y(t)可以看作是线性系统对信号x(t)经过一定变换的结果。如果这个变换L是线性的，我们表示为y(t)=L[x(t)]，则称输出y(t)是输入x(t)的线性变换关系。[定义3.2]设有任意n个随机变量Ak以及任意n个随机信号Xk(t)(k=1,2,…,n),若则称变换L为线性变换。注意：对于线性变换L，必须保证无论Ak(k=1,2,…,n),为何值，也无论Xk(t)(k=1,2,…,n),为何种函数，上述关系式一定能够成立。4、线性变换的性质：00[()][()]nniiiiiiLaXtaLXt[()][()]LkXtkLXt()[()]YtLXt叠加性比例性时不变性[定义3.3]对于线性变换L,即Y(t)=L[X(t)]，如果Y(t+ε)=L[X(t+ε)]成立，其中ε为任意常数，即输入的延时对输出也只产生一个相应的延时，则称L为线性时不变的。L所对应的系统称为线性时不变系统。3.1.2、线性变换的基本定理[定理3.1]设随机过程X(t)，且Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换则有即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。由于因此该定理说明：当把L和E看作算子的话，则L和E算子的次序是可以交换的。[定理3.2]设随机过程X(t)和Y(t)，且Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换则有其中表示t1作L变换，表示t2作L变换。说明：从定理3.1和3.2可以看出，对于线性变换，系统输出的均值和相关函数可以分别由系统输入的均值和相关函数确定。推广：对于线性变换，输出k阶矩可以由输入的相应矩来确定。例如：假设系统是线性是不变得，由线性是不变得基本特征和两个基本定理可以看出：如果输入过程X(t)是狭义平稳的，则输出过程Y(t)也是狭义平稳的；如果输入过程X(t)是广义平稳的，则输出过程Y(t)也是广义平稳的。也就说，线性变换不改变随机过程的平稳性。3.2.1、随机过程的极限[定义3.4]设一随机变量序列，n=1,2，…，又设有随机变量X，如果其中ε为任意小的正数，则称随机变量序列依概率收敛于随机变量X；或者说，随机变量X的随机序列依概率收敛意义下的极限，记作[定义3.5]设一随机变量X及随机变量序列，n=1,2，…，都有二阶矩，即,，并且有则称依均方收敛于随机变量X；或者说，随机变量X是随机序列依均方收敛意义下的极限，记作[定义3.6]设一随机过程X(t),当时，X(t)依概率收敛于随机变量X的定义或者称随机变量X是随机过程X(t)当时依概率收敛意义下的极限，记作[定义3.7]设一随机过程X(t),当时，X(t)依均方收敛于随机变量X的定义或者称随机变量X是随机过程X(t)当时依均方收敛意义下的极限，记作3.2.2、随机过程的连续性[定义3.8]设随机过程X(t),若果有即则称X(t)依均方收敛意义下在t时刻是连续的。以后简称X(t)在t时刻连续。[定理3.3]如果随机过程X(t)的自相关函数在t1=t2=t处二元连续，则X(t)在每一时刻t都是依均方意义下连续。[定理3.4]如果随机过程X(t)依均方意义下连续，则其均值也必为连续的。即有或平稳随机过程的连续性设X(t)是平稳随机过程，则其相关函数为：于是可以得出：很明显，只要平稳随机过程X(t)的相关函数在τ=0处是连续的，则当时，上述式子的右边趋于零，反之亦然。因此可以得出结论：只要平稳随机过程X(t)的相关函数在τ=0处连续，则平稳随机过程X(t)就是依均方收敛意义下连续的。3.2.3、随机过程的微分[定义3.9]均方导数的定义0..tdXtXttXtXtlimdtXt或20lim0tXttXtEXtXt柯西判别准则：如果成立，则随机过程X(t)的导数存在。[定理3.5]平稳随机过程X(t)存在均方意义下的导数条件是其自相关函数在τ=0处存在τ的二阶导数。证明：略。[定理3.6]非平稳随机过程X(t)存在均方意义下的导数条件是当t1=t2时，其自相关函数存在二阶偏导数。[定义3.10]如果随机过程X(t)满足可微条件，则经微分后得到的导数是一个时间函数，这个函数也是一个随机过程，将其称之为导数过程，记作对于导数过程Y(t)的数学期望和相关函数分别记为和因此可以得到：那么随机过程X(t)与导数过程Y(t)的互相关函数为用类似的方法可以得到Y(t)的自相关函数为同理可以得到：若X(t)为平稳随机过程时，则有：随机过程及其导数过程相关函数示意图平稳随机过程及其导数过程相关函数示意图3.2.4、随机过程的积分[定义3.11]则称Y为X(t)在区间atb上的均方积分，记为Y的均值和均方值：[定义3.12]则称Y为X(t)在区间atb上的加权积分，记为