第5讲概率的公理化定义及性质

在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.概率的公理化定义公理2P(S)=1(2)公理3若事件A1,A2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.)()()(2121APAPAAP公理10P(A)1(1)设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:公理2P(S)=1(2)公理3若事件A1,A2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.)()()(2121APAPAAP公理10P(A)1(1)公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.文氏图ＡS设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件A把图形的面积理解为相应事件的概率S因为AAS互斥与AA1=P(S)=P(A)+P()AＡＡAS性质1对任一事件A，有(4))(1)(APAP性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP性质1对任一事件A，有(4))(1)(APAP例1将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件A={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.)(1)(APAP于是=0.5181296625因此==0.482)(AP6666由于将一颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,5555A而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种例2有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}A则用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476)(AP美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：表3.1人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.请看演示：生日问题性质2(5)0)(PSA即不可能事件的概率为0.令SAA,再利用性质1及公理2即得.S))(()(ABAPBP0)(ABP移项得(6),便得(7).再由)(ABA)()(ABPAP由可加性性质3设Ａ、B是两个事件，若,则有(6))()()(APBPABP)()(APBPBA(7)BAS)()())(()(ABBPAPABBAPBAPBAB又因再由性质3便得(8).)(ABBA性质4对任意两个事件A、B，有)()()()(ABPBPAPBAP(8)ABAB它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.下一讲，我们将重点介绍加法公式及其应用.这一讲，我们介绍了概率的公理化定义由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.