专题：一元二次不等式的几点解法

一元二次不等式及其解法目标认知学习目标：1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图。知识要点梳理知识点一：一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根注意：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析类型一：解一元二次不等式1．解下列一元二次不等式（1）；（2）；（3）思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二：或解得或，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.总结升华：1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1)；(2)(3)；(4).【答案】（1）方法一：因为方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是：.方法二：∵原不等式等价于,∴原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为,因为,方程的解，，函数的简图为：所以不等式的解集是.（3）方法一：因为方程有两个相等的实根：，由函数的图象为：原不等式的的解集是.方法二：∵原不等式等价于：,∴原不等式的的解集是.（4）方法一：因为，方程无实数解，由函数的简图为：原不等式的解集是.方法二：∵，∴原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组，即，即，解得∴原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______,b=________。【答案】由不等式的解集为{x|-3＜x＜2}知a＜0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。由根与系数关系得解得a=-2,b=-2。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，，∴,.∴代入不等式得，即，，解得，故不等式的解集为：.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得,代入不等式得，即，解得或.∴的解集为：.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3＞0,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+3＞0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以，即，∴1＜m＜19。综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m＜19}。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当时，只需，即，解得，综上，的取值范围为：.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法4．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+1＞0；（3）x2-(a+1)x+a＜0；解析：(1)∴原不等式的解集为。(2)Δ=a2-4当Δ＞0，即a＞2或a＜-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。当Δ＜0，即-2＜a＜2时，原不等式的解集为R。(3)(x-1)(x-a)＜0当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}当a=1时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为①a=1或a=-1时，解集为；②当0＜a＜1或a＜-1时，，解集为：；③当a＞1或-1＜a＜0时，，解集为：。【变式2】解关于的不等式：（）【答案】当a＜0或a＞1时，解集为；当a=0时，解集为；当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为；5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。解析：若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；若a＜0，原不等式或x＞1；若a＞0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式；（2）当a＞1时，原不等式；（3）当0＜a＜1时，原不等式综上所述：当a＜0，解集为；当a=0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为；当a＞1时，解集为。总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；【答案】当a=0时，x∈(-∞,2].当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为①当a＞0时，若，即时，；若，即时，x∈R；若，即时，.②当a＜0时，则有：，∴。【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；【答案】当a=0时，.当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，①a＞0时，则Δ＞0，.②a＜0时，若a＜0，△＜0，即a＜-1时，x∈R；若a＜0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1；若a＜0，△＞0，即-1＜a＜0时，。【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1＞0【答案】若a=0，原不等式化为-x+1＞0，解集为{x|x＜1}；若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式△=1-4a(Ⅰ)当△=1-4a＜0，即时，方程没有实数根，故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：所以，此时不等式的解集为实数集R；(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；(Ⅲ)当△=1-4a＞0，即时，方程有两个不等实数根，，①当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；②当a＜0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a＜0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R学习成果测评基础达标：1．不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（）A．（－3a，4a）B．（4a，－3a）C．（－3，－4）D．（2a，6a）2．使有意义的x的取值范围是（）A．B．C．D．3．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（）A．a=6，c=1B．a=－6，c=－1C．a=1，c=1D．a=－1，c=－64．解不等式得到解集，那么的值等于()A．10B．-10C．14D．-145．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（）A．B．C．D．6．抛物线y=－x2+5x－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是________。7．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________。8．解下列不等式(1)14-4x2≥x；(2)x2+x+10；(3)2x2+3x+40；(4)；(5)；(6)；(7)9．已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}。（1）求a，b；（2）解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0。10.不等式mx2+1＞mx的解集为实数集R，求实数m的取值范围．能力提升：11．不等式的解集是全体实数，则a的取值范围是()A．B．C．D．12．对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的x的取值范围是_____________.13．已知的解集为，则不等式的解集是________.14．若函数的定义域为R，则a的取值范围为________________.15．若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不等式也成立，则a的取值范围是________________.16．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＜0的解集是___