数学建模实验答案-概率模型

数学建模实验答案-概率模型2实验10概率模型（2学时）（第9章概率模型）1.（验证）报童的诀窍p302~304,323（习题2）关于每天报纸购进量的优化模型：已知b为每份报纸的购进价，a为零售价，c为退回价（abc），每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2,…)。求每天购进量n份，使日平均收入，即01()[()()()]()()()nrrnGnabrbcnrfrabnfr达到最大。视r为连续变量，f(r)转化为概率密度函数p(r)，则所求n*满足*0()nabprdrac已知b=0.75,a=1,c=0.6，r服从均值=500（份），均方差=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？[提示：normpdf,normcdf](i)计算正态变量的概率密度函数的调用形式为：Y=normpdf(X,mu,sigma)正态变量的概率密度函数为22()21()2xxe其中：X是x的一组值，Y对应一组函数值。mu为，sigma为。当=0，=1时，为标准正态变量的概率密度函数。(ii)计算正态变量的分布函数的调用形式为：P=normcdf(X,mu,sigma)正态变量的分布函数为xdzzx)()(且xxdzzdzz)(1)(标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。3要求：(1)在同一图形窗口内绘制10()()nynprdr和2()abynac的图形，观察其交点。程序：n=500:530;mu=500;sigma=50;y1=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma);a=1;b=0.75;c=0.6;y2=(a-b)/(a-c)*ones(size(n));plot(n,[y1;y2]);gridon;[提示]22()21()2rpre，00()()()nnprdrprdrprdr☆(1)运行程序并给出结果：5005055105155205255300.50.550.60.650.70.75(2)求方程0()nabprdrac的根n*（四舍五入取整），并求G(n*)。程序：functiony=fun(n)mu=500;sigma=50;a=1;b=0.75;c=0.6;y=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma)-(a-b)/(a-c);clear;clc;n=fzero('fun',515);4n=round(n)mu=500;sigma=50;a=1;b=0.75;c=0.6;r=n+1;while(a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)1e-6r=r+1;endr=n+1:r;G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));r=0:n;G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))☆(2)运行程序并给出结果：2.（编程）轧钢中的浪费p307~310设要轧制长l=2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。平均每得到一根成品材所需钢材的长度为()()mJmPm其中，22()21()(),()e2xmlPmpxdxpx求m使J(m)达到最小。等价于求方程()()zzz的根z*。5其中：()z是标准正态变量的分布函数，即()()zzydy()z是标准正态变量的概率密度函数，即221()2zze*,,*zlmmlz(1)绘制J(m)的图形（l=2,σ=0.2），观察其最小值的位置。★(1)给出程序和运行结果：clc;clear;m=2:0.001:2.5;%根据l=2l=2;sigma=0.2;J=m./(1-normcdf(l,m,sigma));plot(m,J);gridon;22.052.12.152.22.252.32.352.42.452.52.533.54(2)求使J(m)达到最小值的m*。由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。分别用求无约束最小值的MATLAB函数fminbnd,fminsearch,fminunc求解，并比较结果。★(2)给出程序及运行结果（比较[310]）：functiony=Jfun(m)l=2;sigma=0.2;y=m/(1-normcdf(l,m,sigma));6(3)在同一图形窗口内绘制1()()()zyzz和2()yzz的图形，观察它们的交点。（参考题1的(1)）★(3)给出程序及运行结果（比较[309]图2）：z=-2:0.1:2;y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);l=2;sigma=0.2;7y2=l/sigma-z;plot(z,[y1;y2]);gridon;-2-1.5-1-0.500.511.5202468101214161820(4)求方程()()zzz的根z*，并求m=l-σz*。（参考题1的(2)）提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。★(4)给出程序及运行结果（比较[310]）：functiony=fun(z)%方程l=2;sigma=0.2;y=l/sigma-z-(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);83.（验证）航空公司的预订票策略p313~316模型如下：给定λ,n,p,b/g，求m使单位费用获得的平均利润J(m)最大。101])()/1([1)(nmkkpnkmgbqmnmJ约束条件为10()(01)mnjjkkPmp其中：m预订票数量的限额。λ(1)利润调节因子。n飞机容量。p每位乘客不按时前来登机的概率，q=1–p。b每位被挤掉者获得的赔偿金。g机票价格。b/g赔偿金占机票价格的比例。不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为pqpqpCkKPpkmkkmk1,10,)(被挤掉的乘客数超过j人的概率为10)(jnmkkjpmP（等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m–n–j–1人）该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。[提示：binopdf,binocdf](i)二项分布的概率密度函数：Y=binopdf(X,N,P)9计算X中每个X(i)的概率密度函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y,N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。N中的值为正整数，P中的值从[0,1]取。已知x和参数n,p，二项分布概率密度函数为()(|,)xxnxnyfxnpCpqq=1–p。y为n次独立试验中成功x次的概率，其中，每次试验成功的概率为p。x=0,1,...,n。(ii)二项式累积分布函数：Y=binocdf(X,N,P)计算X中每个X(i)的二项式累积分布函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y,N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。N中的值为正整数；X中的值从[0,N]取；P中的值从[0,1]取。已知x和参数n,p，累积分布函数为()0(|,)xiininiyFxnpCpqq=1–p，x=0,1,2,…,n。要求：(1)已知n=300，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.2和0.4，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)，程序如下。（与教材p315表1n=300时的计算结果比较。）%9.6航空公司的预订票策略functionmain()clear;clc;formatshortg;n=300;m=[300:2:330]';p=0.05;%修改的参数lambda=0.6;%λ值b_g1=0.2;b_g2=0.4;J1=zeros(size(m));J2=zeros(size(m));fori=1:length(m)J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g1);J2(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g2);endP5=binocdf(m-n-5-1,m,p);%二项分布P10=binocdf(m-n-10-1,m,p);round(10000*[m,J1,J2,P5,P10])/10000%显示结果functiony=J(m,n,lambda,p,b_g)%均是标量q=1-p;k=0:m-n-1;y=1/(lambda*n)*(q*m-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p)))-1;10☆(1)运行程序并给出结果（比较[315]表1(n=300)）：(2)对(1)中改变p=0.1和m=300:2:344，求对应的结果。11☆(2)运行程序并给出结果（比较[315]表1(n=300)）：(3)对(1)中改变n=150和m=150:2:170，求对应结果。（与教材时的计算结果比较。）12☆(3)运行程序并给出结果（比较[316]表2(n=150)）：(4)对(1)中改变n=150、m=150:2:176和p=0.1，求对应结果。注意！结果与教材相差较大，原因待查。13☆(4)运行程序并给出结果（比较[316]表2(n=150)））：4.（编程）航空公司的预订票策略（改进）p316~317已知:第2类乘客（t人）都按时前来登机。第1类乘客（m–t人）不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为pqpqpCkKPpktmkktmk1,10,)(被挤掉的第1类乘客数超过j人的概率为10)(jnmkkjpmP（等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超过(m–t)–(n–t)–j–1人）单位费用获得的平均利润为101])()/1()1([])1([1)(nmkkpnkmgbtpqmtnmJ要求：已知n=300,λ=0.6,p=0.05,b/g=0.2,β=0.75，t=100，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)。参考实验10.3的程序，编写解决本问题的程序。14运行结果参考示例：★给出编写的程序和运行结果：%9.6航空公司的预订票策略（改进）functionmain()clear;clc;formatshortg;n=300;m=(300:2:330)';p=0.05;%修改的参数lambda=0.6;%λ值b_g=0.2;t=100;beta=0.75;J1=zeros(size(m));fori=1:length(m)J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g,t,beta);endP5=binocdf(m-n-5-1,m-t,p);%二项分布P10=binocdf(m-n-10-1,m-t,p);round(10000*[m,J1,P5,P10])/10000%显示结果functiony=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta)%均是标量q=1-p;k=0:m-n-1;y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t))...15*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)))-1;16附1：实验提示17附2：第9章概率模型[302]9.2报童的诀窍181920[304]****本节完****21[307]9.4轧钢中的浪费2223[309]题2(3)答案24[310]