2010-18年暨南大学数学分析考研真题

2010年招收年招收年招收年招收攻读硕士学位攻读硕士学位攻读硕士学位攻读硕士学位研究生研究生研究生研究生入学考试试题入学考试试题入学考试试题入学考试试题（（（（副卷副卷副卷副卷））））*******************************************************************************************学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业研究方向：各方向考试科目名称：609数学分析考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。1.求极限(每小题6分,总共36分)(1)lim(,0)nnnnabab→∞+；(2)32012sincoslim(1cos)arctanxxxxxx→++；(3)2limxexxxxxeeee−−→+∞+−；(4)233210limln()yyyxexydx++→+∫；(5)221limnniini→∞=+∑；(6)设函数g在区间(,)−∞+∞内具有二阶连续的导函数,且(0)1,(0)0,gg′==(0)1.g′′=−求2lim(())xxgx→+∞.2.求导数与微分(每小题7分,总共14分)(1)已知()(1)(2)(100),fxxxx=−−⋅⋅⋅−求(1)f′；(2)求由方程2(2)0(,0)yxxyxy−=所确定的函数()yyx=的微分.3.计算积分(第1,2小题每小题7分,第3,4小题每小题10分,总共34分)(1)22xxdxx+−∫；(2)瑕积分21201xdxx−∫是否收敛?若收敛,求其积分值；(3)设()wgu=为连续可微函数,若曲线积分(2())()xCyegxdxgxdy+−∫与路径无关,且(0)1g=,求(1,1)(0,0)(2())().xyegxdxgxdy+−∫考试科目：数学分析共2页，第2页(4)计算22(),Syzdydzxzydzdxxydxdy+++∫∫
其中S为曲面224yxz−=+上0y≥的那部分取正侧.4.求幂级数01(2)!nnnxn∞=++∑的收敛域及和函数.(10分)5.讨论二元函数:f2222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy+≠+=+=在(0,0)点的可微性.(9分)6.证明题(第1-3小题每小题12分,第4小题11分,总共47分)(1)证明不等式:2221141(0).sin2xxxππ≤+−≤(2)设函数f在闭区间[1,1]−上二次可导,且(1)0,(0)0,(1)1.fff−===证明:存在(1,1)θ∈−使得()1.fθ′′=(3)设函数f满足:()i对[,],()[,];xabfxab∀∈∈()ii在闭区间],[ba上具有连续的导函数;()iii|()|1,[,].fxxab′≤∈令11()(1,2,...,[,]).nnxfxnxab+==∈证明数列{}nx收敛于α,其中α满足().fαα=(4)设函数(,)zfxy=在矩形闭域[,][,]abcd×上连续,()xtϕ=为定义在[,]αβ上其值含于[,]ab内的可微函数.令()(,)(,)((,)[,][,]).taFtyfxydxtycdϕαβ=∈×∫证明：F在[,][,]cdαβ×上连续.2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）*******************************************************************************************学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业研究方向：各方向考试科目名称：709数学分析考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。1.求极限(每小题8分,共24分)(1)设数列}{na满足:.,2,1,11,111naaaannn证明}{na收敛,并求.limnna(2)设.,2,1,)12()1(1nnnnnxnn求.limnnx(3)求.)1()cos1(4sinlim32220xexxxxx2.设函数g在0x的某邻域内),3,2(1nn阶光滑,),()()(0xgxxxfn求).(0)(xfn(8分)3.设1nnu是数项级数,证明:(13分)(1)若,0limnnnu则1nnu发散;(2)若1nnu是收敛的正项级数,且数列}{nu单调,则.0limnnnu4.证明方程0cos12yxeyy在)0,0(的邻域内确定唯一的可导函数)(xyy,并求)0(),0(yy及.)(lim0xxyx(12分)5.求幂级数121)!12(12)1(nnnxnn的收敛范围及和函数.(10分)6.将xxxxfarctan1ln)(2在0x处展开成幂级数,并求数项级数1)12()1(nnnn的值.(10分)7.计算积分(每小题10分,共40分)(1)求1)1(32/5xxdx.(2)判断广义积分dxxxx123212的敛散性,若收敛,求其值.(3)计算dyyxeyxdxyxyxxyl2222222444cos2,其中l为取逆时针方向的曲线:.1422yx(4)计算,)(22Sxydxdyydzdxzxyzdydz其中S为曲面224zxy上0y的那部分,取正侧.8.证明:(共21分)(1)若函数f在),(0x内可导,且Axfx)(lim(A为常数),则.)(limAxxfx(11分)(2)若函数f在闭区间],[ba上存在二阶导数,且,0)()(bfaf)),,((0)(baxxf则对.0)(),,(xfbax(10分)9.设),0,0(),(,0)0,0(),(,||||tan),(22yxyxyxyxyxf其中.0,问对哪些f,,在)0,0(可微?(12分)考试科目：数学分析共2页，第2页2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题********************************************************************************************学科、专业名称：基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学、运筹学与控制论等研究方向：考试科目名称：数学分析(B)考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。本试卷满分为150分，考试时间为3小时。一．计算积分（每小题8分，共24分）1．求dxxxx1112的值.2．计算3332221()SIxdydzydzdxzdxdyxyz，其中S是2222xyza的外侧.3.计算曲线积分dzyxdyxzdxzyIL)()()(222222，其中L是球面三角形0,0,0,1222zyxzyx的边界线，从球的外侧看去，L的方向为逆时针方向.二．求极限（每小题8分，共16分）1．求极限2010212011lim[()cossin]92nnnnnn.2.求极限2)(lim22),(),(xyxyxxy.三．求导数（共26分）1．试从ydydx1求出3322,dyxddyxd.（9分）2.设)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),,(zyxF所确定的函数,求dxdz.（9分）3.设2010()(1)()fxxgx，其中()gx在1x连续，且(1)1g，求(1)f.（8分）考试科目：数学分析共2页，第1页四．判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例并作说明）（每题8分，共16分）1).设函数项级数nu在D上一致收敛于)(xS，函数)(xg在D上有界。则级数在D上一致收敛于)()(xgxS.2).设函数f在0x点可导,则f一定在0x的某邻域内可导.五．将)1ln()(2xxxf展开成x的幂级数.（8分）六．证明题（共60分）1.设)(,0xfa是定义在],[aa上的连续偶函数，则dxxfdxexfaaax0)(1)(.（15分）2.1）试用“N”定义证明1limnna，其中.,,12为奇数为偶数，nnnnnnnan.2）叙述limnnaa的“N”定义.（10分）3.证明函数0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f在原点)0,0(可微.（20分）4．设)(xf在]1,0[连续，在)1,0(可导，且满足dxxfxefx)(9)1(9101．则至少存在一点)1,0(，使)()1()(1ff．（15分）考试科目：数学分析共2页，第2页2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）*******************************************************************************************学科、专业名称：数学学科各专业研究方向：各方向考试科目名称：数学分析考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。1.计算题(每小题8分,共80分).(1)21ln0lim(sin).xxx(2)333412lim.nnn(3)22200lim.xtxxtedttedt(4)322(,)(0,0)11sinsinlim.xyyxyxy(5)22ln(1).xdxx(6)ln201.xxedxe(7)设函数(,)zzxy是由方程组22,,uvuvxeyezuv所定义,求dz及xz.(8)设球体2222xyzz上各点的密度与到坐标原点的距离成反比,求这球体的质量.(9)求幂级数11!nnnxn的收敛范围及和函数.(10)求(23)(2)()Lzydxxzdyxydz,其中L为2xyz与三个坐标面的交线,取逆时针方向为正向.2.讨论题(共16分).(1)讨论级数1(1)(0)nnnxxn的敛散性.(7分)(2)设222222,0()(,)0,0,pxxyxyfxyxy其中0.p讨论f在点(0,0)处的连续性.(9分)3.证明题(每小题9分,共54分).(1)证明无穷积分ln(ln)coslnexxdxx条件收敛.(2)证明含参量积分220xyxedy在(,)内不一致收敛.(3)设函数f在闭区间[,]ab上连续,在开区间(,)ab内可导,且()()0fafb.证明存在(,)ab使得()()ff.(4)设函数f在光滑曲线:(),(),[,]Lxtytt上连续,证明存在点00(,)xyL使得00(,)(,),Lfxyfxys其中s为L的弧长.(5)证明(sin2)(cos2)xxeyydxeyxdy有原函数,并求它的一个原函数.(6)设221()ln(1)([0,1]).nfxnxxnn证明f在[0,1]上连续,且有连续的导函数.考试科目：数学分析共2页，第2页2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（A卷）********************************************************************************************学科、专业名称：统计学、数学学科各专业研究方向：各方向考试科目名称：数学分析考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。1.计算题(前5小题每题8分,后4小题每题9分,共76分).(1)201tan1sinl