1.1(上课用)回归分析的基本思想及其初步应用2014.2.20

第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否-------有一个确定性的关系？复习:变量之间的两种关系施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费。等等3、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。2、回归直线方程：ˆˆˆnniiiii=1i=1nn222iii=1i=1(x-x)(y-y)x-nxyb==,(x-x)x-nxa=y-bxy2.相应的直线叫做回归直线。1、所求直线方程叫做回归直---线方程；其中ˆˆˆy=bx+a某产品广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下关系：练习：（1）画出散点图;（2）求回归方程;（3）预测广告费支出7百万元时，销售额多少?x24568y3040605070求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，列表计算平均数,xy1niiixy21niix第二步，求和,1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx第三步，计算第四步，写出回归方程某产品广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下关系：练习：（1）画出散点图;（2）求回归方程;（3）预测广告费支出7百万元时，销售额多少?x24568y3040605070例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考P3产生随机误差项e的原因是什么？思考产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高x的观测误差。函数模型与回归模型之间的差别中国GDP散点图020000400006000080000100000120000199219931994199519961997199819992000200120022003年GDP函数模型：abxy回归模型：eabxy可以提供选择模型的准则所以回归方程是0.84985.712yx所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为0.8497285.71260.316()ykg(,)xy称为样本点的中心探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解释一下原因吗？例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。712.85849.0^^ab，于是得到探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解释一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测值。函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=作业:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:广告费用X（万元）24568销售额y(万元)3040605070(1)求线性回归方程;(2)求残差6.517.5yx回归方程：12345,,,,eeeee123450.5,-3.5,=10,=-6.5,=0.5eeeee例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.84916585.712)6.627对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：21()niiiyy称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。数学上，把每个观测值减去总的平均值的平方加起来，即用21()niiyy表示总的效应，称为总偏差平方和。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和1.R2是度量模型拟合效果的一种指标,反映回归直线的拟合程度.2.R2取值范围在[0,1]之间.3.R21，说明回归方程拟合的效果越好；R20，说明回归方程拟合的效果越差.如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。R2≈0.64可以叙述为“身高解释了64%的体重变化”，而随机误差解释了剩余的36%的体重变化。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。2xR解释变量（）对预报变量(y表示)的贡献率。作业:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:广告费用X（万元）24568销售额y(万元)3040605070(1)求线性回归方程;(2)求总偏差平方和及残差平方和;(3)求R2,说明模型的拟合效果.6.517.5yx2155=1-=0.8451000R21()=1000niiyy21()=155niiiyy在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,,,neee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。iiieyy=使用公式计算残差残差图的制作及作用。•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；•若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；•对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。——这些问题也使用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。线性相关关系（线性回归方程）05010015020025030035020222426283032343601234567202224262830323436非线性相关关系（非线性回归方程）,.ybxa当回归方程不是形如时我们称之为非线性回归方程968.77265.58104.40000.41832.5400.19696.47ˆ675.3481.31330.2950.98875.1101.0557.0ˆ3251156624211173532292725232121eeyx61表22,.RR在一般情况下比较两个模型的残差比较困难这时可以用来比较两个模型的拟合效果。越大，模型的拟合效果越好。