上海中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

第1页（共14页）2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a2，﹣a3，a2﹣1}且A⊆B，则a的值是．2．已经集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}，则集合M∪N=．3．“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是．4．已知a1≤a2，b1≥b2，请比较下面两式大小：a1b1+a2b2a1b2+a2b1．5．不等式x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）的解集为．6．关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值范围是．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨．8．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是．9．已知正实数x，y满足+=1，那么2x+3y的最小值为．10．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．11．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=．12．已知正数x，y满足：x2+2xy=3，则z=+的取值范围是．二、选择题（每小题3分）13．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则下列结论正确的是（）A．M⊆NB．M⊆（∁RN）C．（∁RM）⊆ND．（∁RM）⊆（∁RN）14．集合M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，P的真子集个数是（）A．63B．127C．217﹣1D．220﹣115．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知命题：“若|k|≤1，则关于x的不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A．0B．2C．3D．417．已知a，b都是负实数，则的最小值是（）第2页（共14页）A．B．2（﹣1）C．2﹣1D．2（+1）三、解答题（7+7+11+12+12）18．设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，非空集合Q={x|2a≤x≤a+3}，若P∪Q=P，求实数a的取值范围．19．已知a，b，x，y均为正数，a≠b，求证：+≥．20．（1）解不等式：+2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．21．（1）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0恰有三个不相等的实数根，求实数a的值．（2）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，求实数a的值．22．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+∈A．（1）试问集合A能否恰有两个元素且∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由．（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．第3页（共14页）2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a2，﹣a3，a2﹣1}且A⊆B，则a的值是．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={0，a}及集合元素的互异性可知a≠0，所以a2≠0，﹣a3≠0，又A⊆B，所以a2﹣1=0，解得a=±1，再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由A={0，a}及集合元素的互异性可知a≠0，所以a2≠0，﹣a3≠0，又A⊆B，所以a2﹣1=0，解得a=±1．当a=﹣1时，a2=﹣a3=1，这与集合元素互异性矛盾，舍去．当a=1时，A={0，1}，B={1，﹣1，0}，满足A⊆B．综上a=1，故答案为：1．2．已经集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}，则集合M∪N=．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合N，然后求解并集即可．【解答】解：集合M={x|1＜x＜4}，N={x|x=2a+1，a∈M}={x|3＜x＜9}，集合M∪N={x|1＜x＜9}．故答案为：{x|1＜x＜9}．3．“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是．【考点】命题的否定．【分析】根据否命题的定义即可得到否命题．【解答】解：同时否定条件和结论得到命题的否命题是：若xy≠0，则x≠0且y≠0．故答案为：若xy≠0，则x≠0且y≠0．4．已知a1≤a2，b1≥b2，请比较下面两式大小：a1b1+a2b2a1b2+a2b1．【考点】不等式比较大小．【分析】作差因式分解即可得出大小关系．【解答】解：∵a1≤a2，b1≥b2，∴a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=a1（b1﹣b2）+a2（b2﹣b1）=（a1﹣a2）（b1﹣b2）≤0，∴a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1．故答案为：≤．5．不等式x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）的解集为．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于x（x+1）2（x﹣2）＞0，当x=﹣1时，不等式不成立，当x≠﹣1时，不等式等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2且x≠﹣1，问题得以解决．【解答】解：x2（x2+2x+1）＞2x（x2+2x+1）等价于x（x+1）2（x﹣2）＞0，第4页（共14页）当x=﹣1时，不等式不成立，当x≠﹣1时，不等式等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2且x≠﹣1，故不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）．6．关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】分m=0、m≠0两种情况进行讨论：m=0时易检验；m≠0时，有，即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，∴当m=0时，有8≥0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m≤1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m≤1．故答案为：[0，1]．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．8．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是．【考点】充要条件．【分析】先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜来确定m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|＜1，第5页（共14页）∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣≤m≤．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．9．已知正实数x，y满足+=1，那么2x+3y的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据正实数x，y满足+=1，将2x+3y转化成（2x+3y）（+），然后利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴2x+3y=（2x+3y）（+）=2+6++≥8+4，当且仅当=时取等号∴2x+3y的最小值为8+4．故答案为：8+4．10．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．【考点】归纳推理；一元二次不等式的应用．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）不等式将x换成得不等式，故∈，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），第6页（共14页）发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈，则x∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），故答案为（﹣3，﹣1）∪（1，2）．11．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】画出函数f（x）=x2﹣3x+4的图象，可知f（x）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．【解答】解：画出函数f（x）=x2﹣3x+4=（x﹣2）2+1的图象，可得f（x）min=f（2）=1，由图象可知：若a＞1，则不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立；又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；∴b=4，此时a=0；∴b﹣a=4．故答案为：4．第7页（共14页）12．已知正数x，y满足：x2+2xy=3，则z=+的取值范围是．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意y=＞0，则0＜x＜，再化简z，结合导数知识，即可得出结论．【解答】解：由题意y=＞0，则0＜x＜z=+=﹣x﹣，∵x＞0，∴z′=﹣﹣1＜0，∴函数在（0，）上单调递减，∴z＞﹣3﹣，故答案为：z＞﹣3﹣．二、选择题（每小题3分）13．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则下列结论正确的是（）A．M⊆NB．M⊆（∁RN）C．（∁RM）⊆ND．（∁RM）⊆（∁RN）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】易求N={x|x＜﹣1，或x＞3}，∁RN={x|﹣1≤x≤3}，从而可得答案．【解答】解：∵M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，∴∁RN={x|﹣1≤x≤3}，显然{x|0≤x≤2}⊆{x|﹣1≤x≤3}，即M⊆（∁RN），故选：B．14．集合M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，P的真子集个数是（）A．63B．127C．217﹣1D．220﹣1【考点】子集与真子集．【分析】利用已知条件求出集合P，然后可得真子集个数．【解答】解：∵M={x|x≤4且x∈N}，P={x|x=ab，a、b∈M且a≠b}，∴P={0，2，3，4，6，8，12}．第8页（共14页）∴集合P的真子集个数为：27﹣1=127．故选：B．15．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．