历年行列式考研真题精选

关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。一、利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212xxxxxxxxxxxxxxxx为)(xf，则方程0)(xf的根的个数为（）.1)(A.2)(B.3)(C.4)(D求解：347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf373422133101221012xxxxxx671212212673412133001220012xxxxxxxxxx)1(5)12)(5)((5512121xxxxxxx故0)1(5)(xxxf有两个根，故应选)(B.原行列式中各元素的特点，（均是x的一次多项式，且除33a，43a外，其余x的系数均有规律。）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。2.（1996数一（2）题）四阶行列式4433221100000000ababbaba的值等于（）.)(43214321bbbbaaaaA.)(43214321bbbbaaaaB).)()((43432121bbaabbaaC).)()((41413232bbaabbaaD求解：原式33224133224143322143322100000000abbabbabbaaababbabaabbaa))((41413232bbaabbaa。故选)(D。考虑到行列式的零比较多，可根据行列式展开定理按第一行展开计算。3.（1998西安电子科大）计算行列式xaaaxxaaxxaaaaaa。求解：xaaaaxaaxaxa000002020000022axaaxaxaa22)(20)2(axaaxaxaxaa4．（1999西安电子科大）计算1n阶行列式nnaaaD0010010011110211其中，0ia，ni,,2,1。求解：第一列提取1，第i列提取),,2,1(niai，得100101010011111021211nnnaaaaaaD再将第1,,3,2n列都加到第1列，然后按第1列展开得niinnaaaaD12111。二、利用矩阵运算1.（2003数一（6）题）设三阶方阵A，B满足EBABA2，其中E是三阶单位矩阵，若201A020101，则________B。求解：方法一：由题设条件EBABA2EABEA)(2,EABEAEA))((.显然,0202030102EA,EA是可逆阵，上式两边左乘1)(EA,得EBEA)(.从而有1110012010200BAE先由矩阵方程求出B，再计算行列式B或者将已知等式变形成含有因子B的矩阵乘积的形式，而其余因子的行列式都可以求出即可。方法二：由EBABA2得EABEAEA)(，等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得EABEAEA,约去0EA,得211EAB.2.（200数4一（6）题）设矩阵100021012A,矩阵B满足EBAABA*2，其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则____________B.先化简矩阵方程成乘积形式，再两边取行列式。求解：由题设条件EBAABA*2得*2AEBAE，两边取行列式，得12*EABEA，其中3100021012A，9213*AAA，11000010102EA，故9121*AEAB。3.（2005数一（6）题）设1，2，3均为维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B。如果1A，那么_____B。利用行列式的性质将B转化为A计算，或将B的每个列向量用A的列向量现行表示。求解：方法一：利用行列式性质32132132193,42,B323232182,3,3323212,3,332321,3,23213221,,2,,2因1,,321A，故2B。方法二：因111,,321321，421,,42321321，931,,93321321，故ACB941321111,,93,42,321321321321两边取行列式，得CAACB.因1A，故2941321111CB.方法一是基本方法，方法二比较灵活，当二组向量（这里是A和B的列向量）有表出关系时，表示成方法二中的ACB的矩阵形式是方便的，行列式C的计算，可直接由范德蒙德行列式得到2)12)(13)(23(C.4.（2006数一（6）题）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足EBBA2，则_______B。化简方程成乘积形式，再两边取行列式。求解：由题设条件EBBA2得，EBBA2，即EEAB2)(.两边取行列式，得EEABEAB2)(.其中2111110012112EA,4222EE.故2242EAEB.5.（2010数二（14）题）设A，B为三阶矩阵，且3A，2B，21BA，则_______1BA.求解：)(111111BAEABAAAEBABA11111)()(BABABABBA3212311BABA6.（1995数一（9）题）设A是n阶矩阵，满足EAAT（E是n阶单位阵，TA是A的转置矩阵），0A，求EA.求解：方法一：根据EAAT，有TTTAEAAEAAAAEA)(EAAAEAAEAT)(,于是0)1(EAA.因为01A，故0EA.方法二：因为EAAEAAAAEATTTT)(,即有EAAEA,也即0)1(EAA.因为01A，故0EA.已知矩阵等式EAAT求抽象矩阵EA的行列式，自然想到要利用此等式条件，一种方法是将TAAE直接代入要计算的行列式中；一种是“凑”出可利用已经矩阵等式左端的形式TAA，再将EAAT代入计算。7.（1999数一（2）题）设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则（）)(A当nm时，必有行列式0AB)(B当nm时，必有行列式0AB)(C当mn时，必有行列式0AB)(D当mn时，必有行列式0AB求解：因为AB为m阶方阵，且秩),min()(),(min)(nmBrArABr。当nm时，由上式可知，mnABr)(，即AB不是满秩的，故有行列式0AB，因此正确选项为)(B。四个答案在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可。8.（2000西安电子科大）设A为n阶矩阵，1，2，，n是线性无关的n维向量组，满足)1,,2,1(1niAii，1nA，求A的行列式A的值。求解：因为)()(121121nnnnAAAAA)(132n所以13221nnAnn211)1(又由于1，2，，n线性无关，从而021n，故1)1(nA。三、升阶、降阶法1.（2004北航）计算下面行列式的值nnnaaaaaaaaa212121求解：升阶化三角形。nnnnnaaaaaaaaaaaaD212121210001各行减去第一行nnaaa000100100112121nnniiiaaaa2121101)1(121niiina。2.（2003华南师大）证明行列式等式ninjijnnnnnnAxAxaxaxaxaxaxaxaxaxa11212222111211其中ijaA，ijA是ija在ija中的代数余子式。求解：升阶法。左边nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx21222211121121222211121111110001（按第一行展开）nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa22221122122221112111111,11,2121,111)1(1111)1(nnnnnnaaaaaax（从第二项开始均按第一列展开）nnnnnnaaaaaaaaa212222111211niniininiiAxAxAx11211ninjijnnnnnnAxaaaaaaaaa11212222111211=右边除了升阶之外，我们还有方法二：左边xaxaxxaxaxxaxaxxaxaaxaxaaxaxaannnnnnnnnnn2222112212222111211nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa22221122122221112111111111,211,222211,11211nnnnnnaaaaaaaaaxniniininiiAxAxAxD11211ninjijAxD11=右边。3.（1991数四）求n阶行列式abbababa000000000000求解：利用降阶法按第一列展开abaabaaDn0000000000babbabbn0000000000)1(1nnnba1)1(一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义。由行列式的定义知此行列式除项nnaaa2211和1,12312nnnaaaa外其余乘积项都是零，故nnnnnnyabbbaaaD1)123()12()1()1()1(四、范德蒙德行列式1.（2002北交大）计算n阶行列式：nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx21222212222121111求解：作如下行列式使之配成范德蒙行列式：nijjiniinnnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyp112111121122222122222121)()(1111)(此处y是变数，由此可知nD是)(yp的元素1ny的代数余子式。n