全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：C、D题()

C题之一（全国一等奖）酒精在人体内的分布与排除优化模型桂林工学院，袁孟强，王哲，张莉指导教师：数模辅导组摘要：酒精进入机体后，随血液运输到各个器官和组织，不断的被吸收，分布，代谢，最终排除体外。为了研究酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，以及这些过程与人体反应的定量关系，本文建立了一个酒精在人体内的分布与排除优化模型，在药物动力学的一室模型的基础上，进行优化，改进，分别建立了酒精在人体内分布的房室模型Ⅰ和房室模型Ⅱ，以及酒精在人体内的静态排除模型Ⅰ和动态排除模型Ⅱ，导出模型的体液酒精浓度的状态函数，用常数交叉拟合方法，采用VB编写程序，得到两个重要系数01k和10k。根据此模型，计算的体液酒精浓度理论值与实验值十分相符，并很好地解释了给出的所有问题，得到一些有价值的结论。关键词：房室模型，排除模型，体液酒精浓度，动态和静态的转换酒精在人体内的分布与排除优化模型一、问题的重述国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下(表—1)：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、模型假设1、酒精的转移速率，及向体外排除的速率，与该室的血酒浓度成正比。2、酒精的转移速率，及向体外的排除速率，与时间有关，与空间（人体的各个部分）无关。3、中心室与体外有酒精交换，及酒精从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略。三、模型建立与求解房室模型Ⅰ（在短时间内喝下酒精量为0D）在短时间内喝下酒精量为0D，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：）（txkf0010)(110txkfout排除体外建模过程：0D——短时间内进入胃的酒精；01k——为胃室（吸收室）进入中心室的转移速率系数（由人体机能确定的常数）；)(0tx——是t时刻胃室的酒精；其微分方程为：0000100Dxtxktx（１）)(1tx——是t时刻进入中心室的酒精，其微分方程为：tVctxtftxktx1101101（2）酒精进入中心室的速率为：)(0010txkf（3）将方程（1）的解代入（3）得：tkekDtf010100（4）房室模型Ⅱ（在较长一段时间内喝酒）假设在较长的一段时间内喝下的酒是匀速进入胃室，则简化如下图：inf常数）（txkf0010)(110txkfout胃室)(0tx中心室)(1tx中心室)(1tx排除胃室)(0tx建模过程：inf——为酒精进入胃的速率：tDfin0,t为喝酒时间。outf——为酒精从中心室排除体内的速率0f——为酒精进入中心室的速率01k——为胃室进入中心室的转移速率（由人体机能确定的常数）10k——为是酒从中心室向外排除的速率系数。)(0tx——是t时刻胃室的酒精，微分方程为：00)(00010xftxktxin（5）)(0010txkf（6）)(1tx——是t时刻进入中心室的酒精将方程（5）的解代入（6）得：tkinekftx011010（7）tkineftf0110（8）静态排除模型Ⅰ’与房室模型I配套的静态酒精排除模型Ⅰ‘)(1tc——中心室的血酒浓度；V——人体体液量和人体血液量；酒精进入中心室的速率：tkekDtf010100)(1tx——中心室的酒精量；微分方程为：tVctxtftxktx110110'1（9）10k——酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）由方程（9）得：Vtftcktc0110'1（10）对应的通解为：cdteVtfetctktk101001微分方程的解为：cdteVtfetctktk101001cdteVkDetkktk011010010cekkeVkDtkktk01101001100101tktkceekkVkD100101100101令0)0(1c得：10011kkc.tktkeekkVkDtc1001011001011.根据参考数据表——1，已知：短时间内进入胃的酒精0D,人体体液量V和一批实验数据（it，)(1itc）(231i)。用交叉常数拟合原理在VB环境中编写程序2，利用该程序算出两个重要系数01k和10k，给出模型的状态函数.若初始值设为)0(00cc，则011001001kkkDVcctktktkececekkVkDtc10010100011001011动态排除模型Ⅱ与房室模型Ⅱ配套建立动态酒精排除模型Ⅱ.)(1tc——中心室的血酒浓度；V——人体体液量和人体血液量；酒精进入中心室的速率：tkineftf0110)(1tx——中心室的酒精量；微分方程为：tVctxtftxktx110110'1（11）tVctx11（12）10k——酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）.由方程（11）得：Vtftcktc0110'1（13）对应的通解为：cdteVtfetctktk101001.将0)0(1c及tkineftf0110代入得：tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111（240t）（14）四、酒过程的描述1、在短时间内喝下酒精量为0D用静态排除模型Ⅰ描述：tktkeekkVKDtc1001011001011.2、在较长一段时间内喝酒0D用动态排除模型Ⅱ描述喝酒的过程，用静态排除模型Ⅰ描述酒后的过程.即先用状态函数tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111描述喝酒的过程，然后用状态函数描述酒后的过程.3、天天喝下酒精量为0D用动态排除模型Ⅱ描述第一天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型Ⅰ描述酒后23小时内的的过程，用动态排除模型Ⅱ描述第二天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型Ⅰ描述第二天酒后23小时内的的过程，再用动态排除模型Ⅱ描述第三天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型Ⅰ描述第三天酒后23小时内的的过程……tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111第一天tktkceekkVkD100101100101第二天tktkeekkVKDtc1001011001011tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111第二天tktkceekkVkD100101100101第三天……五、参数的选择一瓶啤酒的酒精量4：)24192%8.4(8.0)(6300mgmlD（）比重.人体体液：）（）（百毫升比重体重4301.1%5.67)(701kgV速率系数5：2.083.11001kk两小时内慢慢喝下两瓶啤酒的输入率：hmgfin241922224192六、拟合效果.中心室中酒精含量（毫克／百毫升）浓度状态函数)(1tc拟合效果图效果图显示拟合程度极高，说明参数的选择与客观情况相符合.七、问题分析问题1的分析：大李在中午喝了一瓶啤酒下午6点检查时，利用静态排除模型：.;1110001100101011001tVctxeDtxceekkVkDtctktktk；.6.5483)6(1.81801)6(/20/0234.19)6(101毫克毫克；百毫升（标准）；毫克百毫升毫克xxc由浓度状态函数在6t时的浓度：200234.19)6(1〈c,可知大李此时符合新的驾车标准.紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家.检测时距晚饭喝的那瓶啤酒已过了八小时，其胃中酒精及体液中的酒精含量分别为：毫克）；毫克）；百毫升（标准）；毫克(33.89888(6.54838x/209031.208101xc由浓度状态函数百毫升（标准）毫克/209031.20)8(1c可知，检查时被定为饮酒驾车.之所以被定为饮酒驾车，关键是此时方程Vtftcktc0110'1中的初始条件0234.190'1c而不是第一次喝酒的00'1c.问题2的分析：在很短时间内喝了3瓶啤酒,问多长时间内驾车就会违反新的驾车标准.根据静态排除模型Ⅰ’：3瓶啤酒的酒精量：毫克）(725760D；浓度状态函数为tktkeekkVkDtc1001011001011.代入数据得：tteetc83.120.0149076.189.（15）若违反新的驾车标准,则：百毫升毫克201tc,根据人体体液酒精浓度曲线图可知，喝酒后约在t=0.07小时（42秒）与t=11.24小时之内驾车会违反新标准。将t=0.07，t=11.24分别代入方程（15）检验得出：200122.2024.11201490.2007.011cc通过验证，证明观测值基本接近实际值。问题3的分析：在较长一段时间（比如2小时）内喝3瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新标准.假设匀速喝酒，则tDfin0此过程分两阶段：（1）在喝酒过程中，多少时间后驾车会违反新标准。（2）喝酒之后，多长时间内驾车会违反新标准。根据动态模型‘Ⅱ：tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111