现代控制理论相关课件第三章(3)

13)变换前后，系统的能控性与能观测性不变。2）变换前后，系统的传递函数阵不变，即3.6能控标准型与能观测标准型考虑如下单输入-单输出线性定常系统cxybuAxx)~det()det(AsIAsIBAsICBAsIC~)~(~)(11坐标变换不改变系统的固有内在性质,至少包含以下内容：1）变换前后，系统的特征值不变，即23.6.1能控标准型定义对单输入-单输出线性定常系统，若100,001101baaaIAnnc无要求，则称这种形式为能控标准I型，且系统是完全能控的。其中为特征多项式的各项系数。该系统的能控性可通过判断此时系统的能控性判别矩阵的秩得到验证。0111)det(asasasAsInnn(0,1,,1)iain3能将系统变换为代数等价的能控标准型定理若单输入-单输出线性定常系统完全能控，则必存在非奇异变换，其中xPxMFaaaaaabAAbbPnnnn11111121211xcyubxAxcPcbPbaaaIAPPAnn,100,00111011式中4定理的结论说明，只要是完全能控的系统，必可通过非奇异变换化为能控标准型，且给出了变换阵的构成方式。uxx002210131024xy001例已知下列完全能控系统试求系统的能控标准形。200142036822bAAbbM16239)det(23sssAsI解：50010191923001011221aaaF00202421010001019192320014203682MFP252521121021001P构造F阵则非奇异变换阵923161000101APPA1001bPb21010cPc6系统的传递函数为1623910102)()(2320122301221sssssasasasbsbsbbAsIcsG对照系统矩阵和传递函数的系数，能控标准I型与系统的传递函数之间可以很容易地转换。7b无要求，则称这种形式为能观测标准型，且系统是完全能观测的。此系统的能观测性，可通过判断此时系统的能观测性判别矩阵的秩得到验证。100,001110＝caIaaAnn3.6.2能观测标准型定义对单输入-单输出线性定常系统，若8定理若单输入-单输出线性定常系统完全能观测，则必存在非奇异变换xQx1－FNcAcAcaaaaaaQnnnn11121211111xcyubxAxQbbcQcaIaaQAQAnn,100,00111101其中能将单输入-单输出线性定常系统变换为能观测标准型式中9定理的结论说明，只要是完全能观测的系统，必可通过非奇异变换化为能观测标准型，且给出了变换阵的构成方式。uxx002210131024xy0011623923sssAsI)det(214180240012cAcAcN0010252450010191923NQ25121252101001Q例试求完全能观测系统的能观测标准形。解：已知10910230116001QAQA21010Qbb1001cQc1623910102)()(2320122301221sssssasasasbsbsbbAsIcsG系统的传递函数为113.7线性定常系统的结构分解若系统是完全能控（完全能观测）的，经过非奇异变换总可以得到相应的标准型。对于不完全能控（不完全能观测）的系统，若能区分能控的部分和不能控的部分，能观测的部分和不能观测的部分，对系统进行分析、设计时将带来许多方便之处。由于线性非奇异变换不改变系统的能控性和能观测性，系C（能控）NC（不能控）（不能观测）NOO（能观测）状态空间分布图统的结构分解就是利用线性变换来解决这一问题的。基于能控性与能观测性的讨论，一般系统可由四个子系统组成，四个子系统的状态变量把状态空间分成四个子空间，如图所示。结构分解就是要将组成系统的各个子系统求解出来。12其中为k维能控分状态向量，为n-k维不能控分状态向量，并且3.7.1能控性结构分解定理若系统不完全能控，即，则必存在非奇异变换CxyBuAxx,nkrankMxTxNCCNCCCNCCNCCNCCxxCCyuBxxAAAxx0012CxNCxkBABABrankBAABBrankCkCCCCn11将系统变换为能控性结构分解标准型13非奇异变换阵其中n个列矢量可以按如下方法构成：前k个列矢量T1，T2，…，Tk是能控性矩阵M中的k个线性无关的列，另外（n-k）个列Tk+1，…，Tn在确保T为非奇异的条件下，完全是任意的。CCCBAsICBAsIC11)()(传递函数为12(,,,,)knTTTTT14从图中可直观地看出，系统的不能控部分既不受输入u的直接影响，也没有通过能控状态而受到u的间接影响，所以不能控部分的内部不能受外作用所影响。能控性标准分解的方框图如下所示。CxNCCBCACC12ANCCNCANCCCxNCxuy153.6.2能观测性结构分解定理若系统不完全能观，即，则通过在中任意选取q个线性无关的行构成，再另外任选个与之线性无关的行向量构成，则取非奇异变换阵，引入非奇异变换CxyBuAxx,nqrankNN1Fqn2F21FFFxFxNOOONOONOONOONOOxxCyuBBxxAAAxx0021能将系统变换为能观测性结构分解标准型16其中，为k维能观测分状态向量，为n-k维不能观测分状态向量，并且OxNOxqACACCrankCACACrankqOOOOOn11OOOBAsICBAsIC11)()(17能观测性标准分解的方框图如下图所示：OBOAOC21ANOANOOOxNOxyNOBu18其中，为能控且能观测分状态，为能控不能观测分状态，为不能控能观测分状态，为不能控不能观测分状态。3.4.3系统状态的标准分解定理若系统不完全能控且不完全能观测，则必能通过非奇异变换实现系统的标准分解，其表达式为CxyBuAxx,xTxNONCONCNOCOCNONCONCNOCOCNONCONCNOCOCxxxxCCyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx,,,,2121,,,,444333242322211311,,,,00000000000OCx,NOCx,ONCx,NONCx,19标准分解的方框图如下图所示。1B11A1C13ANONC,OC,OCx,22ANOCx,y2B23A2C43ANOC,33AONCx,44ANONCx,uONC,24A21A20由系统结构的标准分解，还可以导出下面的重要结论。结论对不完全能控不完全能观测的系统，其输入输出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观测的那一部分，即111111)()()(BAsICBAsICsG结论表明，一般地说，传递函数矩阵只是对系统结构的一种不完全的描述。21),,(cbA111,100,340010121cbAnrankbAAbbrankrankM29310004102031100010T例已知系统的相应系统矩阵为试按能控性进行分解。解:因为所以系统不完全能控。构造变换阵其逆阵为0100011031T22则12103110001011100110001000110310024123003110001034001012101000110311CTCBTBATTAuxxxxNCCNCC001100241230NCCxxy121变换后的表达式为:23),,(cbA111,100,041020122cbAnrankcAcAcrankrankN21211011112100101111F1000111101F例已知系统的相应系统矩阵为试按能观测性进行分解。解因为所以系统是不完全能观测的。构造变换阵其逆矩阵为241340320101000111100410201221001011111FAFA111100100101111Fbb0011000111101111cFcNOONOONOOxxyuxxxx001111134032010则变换后的表达式为25),,(cbA例已知系统的相应系统矩阵为试对系统进行标准结构分解。解因为210,011,310301100cbAnrankbAAbbrankrankM22103111012110011001CT所以系统不完全能控。构造变换阵26经变换后，系统系统矩阵为，系统分解为xTxCCCCCcTcbTbATTA,,11NCCNCCNCCxxyuxxxx211001100221110CCNCCCxyuxxx1101212110对能控子系统211111rankAccrankrankNCCC27显然是能观测的，不需要变换，故令，利用对按能控性结构分解后的系统进行变换，系统矩阵为10111O