高一数学函数模型的应用实例3

3．2.2函数模型的应用实例1．几种常见的函数模型(1)一次函数模型(2)二次函数模型(3)指数函数模型(4)对数函数模型(5)幂函数模型．1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．应用函数模型解决问题的基本过程数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？【提示】因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)80000(x400).其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．【解析】(1)设每月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000(0≤x≤400)60000－100x(x400).(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)60000－100×40025000.在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段．1.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)，某公司每月最多生产100件产品，生产x(x∈N＋)件产品的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润为收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由题意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x∈[1,100]，x∈N＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x，x∈[1,100]，x∈N＋.(2)因为P(x)＝－20x－12522＋74125，所以当x＝62或x＝63时，P(x)max＝74120.又因为MP(x)是减函数，所以当x＝1时，MP(x)max＝2440，故P(x)与MP(x)不具有相等的最大值．某林区1999年木材蓄积量200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？【解析】(1)现有木材蓄积量200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.…经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.∵x虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长，∴x≥0，且x∈R.∴函数的定义域为[0，＋∞)．x0123…y200210220.5231.5…(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象，如图所示.年份0为1999年(附图)．作直线y=300，与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点，设A(x0,300)，则A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值．∵8x09，则取x=9.∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一．这种将“数”与“形”结合解决问题的思想方法即“数形结合方法”，能使抽象的问题直观化，对人的数学思维发展有深刻的影响．2.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应该将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．【解析】设每件售价提高x元，则每件得利润(10－8＋x)元，即(2＋x)元．每天销售量变为(200－x/0.5×10)件，即(200－20x)件，所获利润y＝(2＋x)·(200－20x)＝－20(x－4)2＋720(0≤x10)．故当x＝4，即售价定为14元时，每天可获得最大利润720元．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①此工厂前三个月的产量已知；②题中给出了两个函数模型，选择其中一个．解答本题先由条件确定函数解析式中的待定系数的值，再研究x＝4时，哪个函数值更接近1.37.【解析】(1)设二次函数y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；则f(1)＝p＋q＋r＝1，f(2)＝4p＋2q＋r＝1.2，f(3)＝9p＋3q＋r＝1.3.⇒p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，f(4)＝－0.05×16＋0.35×4＋0.7＝1.3.(2)设函数y2＝g(x)＝abx＋c，则ab＋c＝1ab2＋c＝1.2ab3＋c＝1.3⇒a＝－0.8b＝0.5c＝1.4.∴y2＝－0.8×0.5x＋1.4，g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好.(1)问题中给出函数解析式，且解析式中带有需要确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获解；(2)在建立函数模型时，对同一实际问题可选取不同的模型，通过比较，选出比较接近实际的模型．时间/t50110250种植成本/Q1501081503.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据上表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．【解析】(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q＝at2＋bt＋c.即150＝a×502＋b×50＋c108＝a×1102＋b×110＋c，150＝a×2502＋b×250＋c解得Q＝1200t2－32t＋4252.(2)Q＝1200(t－150)2＋100，∴当t＝150天时，西红柿种植成本最低为100元/102kg.1．解决应用问题的基本步骤(1)阅读理解，认真审题：就是要读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析出已知是什么、求什么、涉及哪些知识、确定自变量与函数值的意义，尝试将问题函数化．审题时要抓住题中关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．(2)引进数学符号，建立数学模型：一般设自变量为x，函数为y，并用x表示各种相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型．(3)利用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果．(4)将数学问题的解代入实际问题进行核查，舍去不合题意的解，并作答．这些步骤用框图表示如下：2．数据拟合过程中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑．(2)降低解题难度，虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解．一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606B．45.6C．46.8D．46.806【错解】选A.设甲地销售x辆，则乙地销售15－x辆．总利润L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15x－5152＋45.606∴当x＝515时，获得最大利润45.606万元．【错因】上面解答中x＝51/5不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x＝51/5接近的整数才符合题意．【正解】设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，则总利润L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.根据二次函数图象和x∈N*，∴当x＝10时，获得最大利润L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6万元．【答案】B课时作业点击进入链接