平面与圆柱面,圆锥面的截面

P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影．(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？(2)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？(3)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？【例1】解：如图所示(1)若PA＝PB＝PC，O为P在平面ABC上的正射影．故有OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．(2)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心．(3)PO⊥平面ABC、PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心．【反思感悟】根据射影的性质，可以确定点在一个平面内射影的位置．（二）平面与圆柱面的截线1．一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一个圆.2.一个平面与圆柱的轴线所成的角为锐角，截曲线所得的曲线为椭圆．知识点二圆柱面的平面截线【推敲引申】1．圆柱面的直截面截圆柱面所得截线是圆．2．圆柱面的斜截面截圆柱面所得截线是椭圆．3．圆柱面Dandelin双球与斜截面的切点，是椭圆的焦点．已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为一个半径为3的圆，另一截面与圆柱轴线所成角为60°，求椭圆截线的两个焦点之间的距离．【例5】解：由斜截面与圆柱轴线成60°，即与圆柱母线成60°角，故椭圆的长半轴a＝rsinφ＝3sin60°＝23，又椭圆的短半轴b＝r＝3.故椭圆的焦距2c＝2a2－b2＝23.即为截线的两个焦点间的距离．对射影与垂直关系的探究如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆的面积．【例6】【探究学习】解：如图所示，设椭圆是由半径为r的圆柱面的斜截面截得的，且斜截面与母线所成角为α，则b＝r，a＝rsinα.取圆柱面一直截面，则其面积S圆＝πr2，直截面与斜截面的夹角为π2－α，由面积射影定理有S椭圆＝S圆cosπ2－α＝πr2sinα＝π·r·rsinα＝πab.即为椭圆的面积．【反思感悟】注意图形面积和其射影面积关系的应用．【推敲引申】1．过球外一定点P作该球的切线，切线有无数条，所有切点构成的图形是一个圆．2．过球O外一点P作球的切线，切点为A.则△PAO为直角三角形．已知球O半径为3，球外一点P到球心O的距离为5，过P作球的切线，切点为A，则切线长PA等于________．答案：4【例1】解析：在Rt△POA中，PO＝5，OA＝3，OA⊥PA.则OA2＋PA2＝PO2.∴PA＝PO2－OA2＝4.在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线的夹角为α，任取一个不通过S的顶点的平面δ，设其与轴线的夹角为β(β与轴线平行时，规定β＝0)，则(1)当βα时，平面σ与圆锥面的交线为椭圆；(2)当β＝α时，平面σ与圆锥面的交线为抛物线；(3)当βα时，平面σ与圆锥面的交线为双曲线．知识点三定理在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线的夹角为α，任取一个不通过S的顶点的平面δ，设其与轴线的夹角为β(β与轴线平行时，规定β＝0)，则(1)当βα时，平面σ与圆锥面的交线为椭圆；(2)当β＝α时，平面σ与圆锥面的交线为抛物线；(3)当βα时，平面σ与圆锥面的交线为双曲线．知识点三定理如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？【例3】2解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连结OE，∵O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE＝∠AVO＝π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面VAB，∴平面CDE⊥平面VAB，即平面VAB为截面CDE的轴面，∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．定理：除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹．其中点F叫做圆锥曲线的焦点，直线叫做圆锥曲线的准线．知识点四圆锥曲线的统一定义【推敲引申】作一圆锥面的内切球，与平面α相切于点F，切点圆所在的平面为δ.设α、β分别是平面δ与圆锥面的轴线及平面σ所成的角．令e＝cosβcosα，e为圆锥曲线的离心率．当βα时，cosβcosα，0e1，截出的圆锥曲线为椭圆．当α＝β时，cosα＝cosβ，e＝1，截出的圆锥曲线为抛物线．当βα时，cosβcosα，e1，截出的圆锥曲线为双曲线．平面与圆锥面的截线主要要求学生体会探究过程，提高空间想象能力，应以中低档题目考查思想方法为主．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心率．分析：和定理2相结合，考虑题中两个已知角的含义．高考在线【点击考点】【剖析考题】【例5】解：由题意知α＝60°，β＝45°，满足βα，这时截面截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝cos45°cos60°＝2.