矢量分析与场论(定理一及例题)

2.有势场的判定充要条件是为无旋场.定理1.在线单连域内,矢量场为有势场的AA证设(,,)(,,)(,,)APxyziQxyzjRxyzk[必要性]如果为有势场，A则存在函数(,,)uxyz满足grad,Au即,xPu,yQuzRuijkxyzPQRrotAxyzijkxyzuuui()zyyzuuj()xzzxuuk()yxxyuu即为无旋场.A函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,∵∴函数u具有二阶连续偏导数.rot0,A∴1.▽θ；读作“gradθ”，此时θ必须是个标势函数或标量，▽θ表示θ的梯度。2.▽·A；读作“divA”,此时A必须是矢势函数或矢量，▽·A标势A的散度。3.▽×A，读作“rotA”,此时A必须是矢势函数，或矢量，▽×A标势A的旋度。[充分性]设为无旋场，A即在场中处处有rot0,A对于场中的任何封闭曲线l,则lAdl(rot)SAdS0因此曲线积分与路径无关.0MMAdl0000(,,)Mxyz(,,)Mxyz其积分值只与起点和终点有关.000(,,)(,,)xyzxyzPdxQdyRdz(,,)uxyz记下面证明这个u(x,y,z)满足grad,Au只要证明,xPu,yQuzRu(,,)(,,)uuxxyzuxyz000(,,)(,,)xxyzxyzPdxQdyRdz000(,,)(,,)xyzxyzPdxQdyRdz000(,,)(,,)xyzxyzPdxQdyRdz(,,)(,,)xxyzxyzPdxQdyRdz000(,,)(,,)xyzxyzPdxQdyRdz(,,)(,,)xxyzxyzPdxQdyRdz(,,)(,,)(,,)xxyzxyzPxyzdx(,,)Pxxyzx(,,)xxxPxyzdx(,,)uPxxyzx∴(,,)uPxyzx同理可证(,,),uQxyzy(,,)uRxyzz∴充要条件是为无旋场.在线单连域内,矢量场为有势场的AA定理1.此性质表明：AdlPdxQdyRdzuuudxdydzxyz即表达式AdlPdxQdyRdz是函数u的全微du分,也称函数u为表达式AdlPdxQdyRdz的原函数.一般地,称具有曲线积分与路径无关性质的矢量场为保守场.在线单连域内,以下四个命题彼此等价：1)场有势(梯度场);2)场无旋；3)场保守；4)表达式是某个函数的全微分.AdlPdxQdyRdz0MMAdl3.势函数的求法0000(,,),Mxyz000(,,)(,,)(,,)xyzxyzuxyzPdxQdyRdz以任一路径从点0000(,,)Mxyz到点(,,)Mxyz积分,求出函数u后，再令v=-u就会得到势函数.一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来作为积分路径.在场中选定一点用公式000(,,)(,,)(,,)xyzxyzuxyzPdxQdyRdz选取积分路径：00(,,)Rxyz则00(,,)xoxPxyzdx0(,,)zzRxyzdz0000(,,)Mxyz(,,)Mxyz0(,,)Sxyz00(,,)yyQxyzdy例1.证明矢量场22222(cos)2Axyzixzyjxyzk为有势场，并求其势函数.解：由2222222242sin2422yzxzxyzDAxzyxzxyzxzxy0AA得rot，故为有势场。例1.证明矢量场22222(cos)2Axyzixzyjxyzk为有势场，并求其势函数.解：为简便计算，取为坐标原点O（0,0,0）220002sin2cos0yzxyyzdzxydydxuxyz于是得势函数22sinyzxyuv而全体势函数为cyzxyv22sin000(,,)(,,)(,,)xyzxyzuxyzPdxQdyRdz00(,,)xoxPxyzdx0(,,)zzRxyzdz00(,,)yyQxyzdy0000(,,),Mxyz否则，求出的势函数与此只相差一个常数例2.用不定积分法求例1中矢量场的势函数.解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足grad,Au即有由第一个方程对x积分，得与比较，得代入得从而，势函数例3.证明3232223Axyzixzjxyzk为保守场，并计算曲线积分,其中ABAdl(2,3,1).B(1,4,1),A解：显然dzyzxdyzxdxxyzldAyzxd223233232)(所以231248BAABAdlxyz3323222222226203636yzxzxyzDAxzxzxyzxzxyz0AA得rot，故为保守场。代入公式例4.若(,,)(,,)(,,)APxyziQxyzjRxyzk为保守场，()uM使()()()BABAAdluMuBuA则存在函数得