《实际问题与二元一次方程组》教学反思[1]-2

等量关系怎么找——《方程（组）的实际应用》教学反思长兴肖晔前言：列方程解应用题是学生的一个困难问题。大部分学生见到字多的题目就会大脑一片空白。这种不良反应很可能会延续到函数的实际应用。这个方面的教学反思是很有必要及迫切需要的。笔者从事教学12年来，一直在反思应用题对于学生的困难之处。开始的时候，总是觉得原因在于学生文字理解能力差，看不懂题目。其实，这和语文的文字理解能力关系不大，主要是和学生对题中的数量关系的理解有关。一、一元一次方程实际应用困难先举一个学生觉得很容易的例子：例1、一个修路工程队已完成1700米的任务，预计每天修150米，还需多少天能完成2450米的总任务？这个问题为什么简单？因为学生对每天修150米，x天修150x米这种倍数关系理解了，等量关系“已完成+预计完成=总任务”就好找了。再举一个学生觉得有点困难的例子：例2、小明有5角硬币和1元硬币共50枚，其中5角硬币比1元硬币的2倍多5枚。小明的两种硬币各有多少枚？他共有多少元钱？学生易犯的设未知数的错误是：设两种硬币各有x枚。第二个错误是：设5角硬币有x枚，1元硬币有（2x+5）枚。如果解设对了，一般都不会列错方程。这个题目绝对不存在阅读理解的困难，背景是学生很熟悉的。在教学中发现，几乎没有学生主动“设5角的硬币有x枚，则1元的硬币有(50-x)枚”。部分接受能力强的学生对这种设法接受很快，还有一小部分学生（学习态度较好）就不能接受。我们再仔细想想，其实“设5角的硬币有x枚，则1元的硬币有(50-x)枚”所涉及数学思想与列一次函数关系式是很相似的，所以部分学生觉得有难度。倍数关系很直接，学生易接受；这个关系用到一次逆向思维（加数=和–加数），所以难接受。这个难点可以用列举表格的方法来解决：总数5角枚数一元枚数5014950248503475044650………….50x50-x这样，数量间的关系就很清晰的展示出来了。其实，在学习代数式时，学过用字母表示数，可是学生思维没有把两个知识点联系起来。很多参考书都是这样总结列一元一次方程解应用题的一般步骤的。第一步：审题，用一个字母如x表示题目的未知数；第二步：找出一个相等关系式；第三步：根据等量关系列出一元一次方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：检验，作答。结合学生觉得困难的例2分析一下，第一步就不好办了，因为有两个未知量，却只能设一个未知数；第二步找一个相等关系，其实题中有两个相等关系。有些困难学生，第一个步骤都不能顺利完成，所以觉得难！虽然老师们都觉得这是个超级简单的题，它确实难住了一些学习态度较好的学生。老师的工作就是帮学生解决困难，我们需要学着学生的思维方式去理解他们。二、二元一次方程组的实际应用困难二元一次方程组的有关应用题在解设上没有什么困难，找相等关系列方程还是有很大困难。也举个例子：例3、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.2公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割6.5公顷。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？这个题目已知数据很多，部分学生望而生畏。列出的方程常常丢三拉四。参考书常这样总结列二元一次方程解应用题的一般步骤的。第一步：认真审题,找出已知量、未知量（两个）以及等量关系（两个）；第二步：设未知量x,y；第三步：根据等量关系（两个）列二元一次方程组；第四步：解二元一次方程组；第五步：检验，作答.结合例3，分析一下学生觉得困难的地方。第一步，找出已知量、未知量容易，但找两个等量关系就不那么容易了。找不到等量关系，题就做不下去了。我们可以发现，学生都是被“等量关系”难住的。不管设一个未知数也好，设两个未知数也好，只要找不到等量关系，方程就列不出来。这个“害人”的等量关系还有一个致命伤——要用文字描述。以例3为例，请老师们自己把“等量关系”准确的表述一下，你会发现，几乎就是把题目重复了一遍。我们自己做这题，只会关注两个“共”字，不会把等量关系详细写出来。那为什么要学生去写或说呢?反思，“等量关系”地位重要，但是它是否必须在第一时间出现呢？三、两种讲解对比以例3为例，对比“等量关系”在前和“等量关系”在后两种讲解方法。例3、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.2公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割6.5公顷。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？（一）“等量关系”在前第一步：解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷,得：第二步：找出相等关系：大收割机工作量+小收割机工作量=总工作量是不时所有学生都能准确找到这个等量关系能？第三步：列出方程：5.625352.35222yxyx第四步：解出方程第五步：检验，答（二）“等量关系”在后第一步：找出已知数据，建议学生在数据上作好标记（如圆圈）。第二步：解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷,得：第三步：分析每个已知数据和未知数的数量关系，顺序是从前往后。如，看到第一个数据“2台”，想想它和x还是y有关系，它们之间存在那种运算关系？学生很快会想到2x，接下来就是5y，这两个式子就是方程的雏形，再考虑2小时和3.2公顷，方程很容易就出来了：2（2x+5y）=3.2.第四步：反思题中的“等量关系”第五步：解出方程第六步：检验，答两种方法对比：第一种方法，学生容易在第二步受困；第二种方法把找“等量关系”分解为找“数量关系”，学生不那么容易受困；第一种方法要求学生用文字描述“等量关系”，学生会觉得困难；第二种方法在找数量关系的过程中，自觉地把等量关系用数学式子（方程）描述好了，学生不会觉得太困难；最后反思“等量关系”，加深对题目的理解。四、“等量关系”在后的解题步骤反思“等量关系”在后的列方程解实际问题的步骤:第一步：认真读题，找出已知量与未知量；第二步：正确设好未知数；第三步：按顺序初步分析各个已知量与有关未知数的关系；第四步：在初步分析的数量关系之间找到等量关系，列出方程（组）并反思等量关系的文字描述；第五步：解方程（组）；第六步：检验，答。这样的步骤，把找“等量关系”细化为找“数量关系”，按照已知数据出现的顺序，一个一个分析，把文字理解和数量关系紧密结合在一起。这样的步骤对列一元一次方程和列二元一次方程组都合适。这与波利亚的怎样解题表的思路是一致的。笔者的教学感受是，“等量关系”在后的方式比较适合中等以下层次的学生。在反复强调这样的步骤后，学生就从不能动手，到动手画圈，再到设好未知数；动手之后，就开始思考，从列一半式子到列出方程。希望本文能起到抛砖引玉的作用，引起更多的老师来反思实际应用类的教学策略，研究出一些实用的方法。