常微分方程小论文

课程小论文论文名称：关于'''0yayb的系数与解的研究所属课程:常微分方程授课教师:**********学院(系):**********姓名:********学号:**********姓名:********学号:**********姓名:********学号:**********2010年1月1[摘要]本文就关于方程'''0yayb的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。[正文]关于'''0yayb的系数与解的研究方程'''0yayb是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。[例１]当a和b取何值时，方程'''0yayb的所有解在整条数轴x上是有界的？[解]首先求出特征方程20b的根。有21,224aab。其次研究所有解的表达式的各种情形。如果24ab，则通解是212()axyCCxe.（1）如果24ab，则通解形如1212xxyCeCe（2）从（1）式得，无论a取什么值（实数或复数），所有解y都是无界的。事实上，如果Re0a，则函数y当0x时无界；如果Re0a，则函数y当0x时无界；如果Re0a，则函数y也显然无界。现在研究用公式（2）表示的解。设1Re0或2Re0，则解（2）当0x时都无界。设1Re0或2Re0，则（2）式的不是所有解当0x时有界。最后，如果12ReRe0，即如果11i，22i（12），则对于所有的(,)x，所有的解都是有界的。事实上，在这种情形，所有的解都可表示为有界函数1sinx，1cosx，2sinx，2cosx的任一线性组合的形式。2总之，为使所有的解有界，我们有条件2124aabi，2224aabi（12），从而求出12()ai，12b，其中1和2是不同的任意实数。特别地，如果a是实参数，即12，则所有的解当0b（0a）时有界。[例２]当a和b取何值时，方程'''0yayb的解当x时趋向于0？[解]利用例１中解的表达式（1）和（2），在情形（1），如果Re0a，则当x时所有的解趋向于0。在情形（2），如果同时有1Re0和2Re0，则当x时所有的解趋向于0。特别地，如果a和b是实参数，则在情形（1）中，当0a（204ab），x时所有的解趋向于0。这些条件（0a，0b）对情形（2）也是有用的。实际上，如果0b，则根1或2之一不依赖于a，且是正的，即当x时，1xe或2xe。如果0b，则方程有解0yC，它不趋向于0。因此必须使b是正数。设0b，0a，则诸根之一（1或2）的实部一定是非负的，因此当x时，1xe或2xe不趋向于0。再研究同时有0a和0b的情形。如果204ab，则两个根都是负的，因此当x时0y。如果24ab，则根1，2是复共轭的，并且有负实部，因此当x时0y。[例３]当a和b取何值时，方程'''0yayb的解在点x的无限集合上变为0？[解]从例１中方程解的表达式（1）和（2）出发。显然，公式（1）不确定振荡解，对某个a，此解在点x的无限集合上变为0.考虑解（2）。如果1和2是实根，则众所周知，两个指数的和只能在有限个点x上变为0，设32212,;2424aaaaibib即24ba，则22212cossin44axaayCbxCbxe22cos4axaAbxe可见在这种情形下，对于任意的数值A和，所有的解在点的无限集合kx变为0，其中22.4kkxkZab[例４]当a和b取何值时，方程'''0yayb的解当x时满足关系式()xyoe？[解]我们应该求出参数a和b这样的值，使得对于所有值1C和2C（例１中方程的解（1）和（2）中的任意常数），满足条件lim0xxyxe(１)如果24ab，则根据（1）式有(1)212lim0axxCCxe显然，对于任意的1C和2C，只有在条件Re(1)02a即Re2a时，这个关系式才满足。在12的情况下，条件（1）具有形式12(1)(1)12lim0xxxCeCe对于任意的1C和2C，此式等价于关系式1(1)lim0xxe和2(1)lim0xxe(2)由此得，最后这两个关系式只有在不等式1Re(1)0和2Re(1)0同时成立时4才有可能。如果a和b是实参数，则最后两个不等式可以具体地写出。设24ab，则1和2是实根，如果10，则也有20。因此有两个条件24ab，21024aab(3)此时，关系式（2）成立。同时解不等式（3），得出关系式（1）成立的条件2a，214aab设24ab，则21,224aaib，如果102a，即2a，则关系式（2）成立。因此，如果a和b是实参数，则当2a和1ba，即21ab时，题设条件中所指的关系式成立。看了以上4个例题我们可以发现这类题型解题步骤相似，理清基础概念之后解这类题并不是非常难。我们把结论当条件用，把它们改成证明题来做之后发现，之前的那些做法依然可以沿用，所以弄明白这些题目的做法，并举一反三对学习非常有帮助。通过这次小论文的写作，我们认为我们从中受益良多。由于时间仓促，如有不当之处敬请指教。[参考资料]1.《常微分方程教程》，丁同仁编，高等教育出版社。2.《常微分方程习题集》，费利波夫著，上海科学技术出版社。