必修一同步课件：2.1.2(第3课时)指数函数习题课

2.1指数函数第二章2.1.2指数函数及其性质第三课时习题课例1.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y＝2x的图象经过怎样的变换得到的．(1)y＝2x－1.(2)y＝2x＋1.(3)y＝2|x|.(4)y＝－2x.(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到；(2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到；(3)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右侧的图象和y轴右侧的图象关于y轴对称的图象组成的；(4)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称．【互动探究】根据例题中的条件，画出函数y=|2x－1|的图象，并说明它是由函数y＝2x的图象经过怎样的变换得到．【解析】如图所示，函数y=2x的图象向下平移1个单位得到函数y=2x－1的图象，再将所得图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留x轴上方部分即可得到函数y=|2x－1|的图象.【拓展提升】1.指数函数y=ax(a0,a≠1)常见的两种图象变换(1)平移变换(φ＞0),如图1所示.(2)对称变换,如图2所示.2.两类常见的翻折变换(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右侧部分即可得到.【变式训练】要得到函数y=8·2－x的图象，只需将函数y=()x的图象()A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位【解析】选A.∵y=8·2－x=()－3()x=()x－3，∴将函数y=()x的图象向右平移3个单位可以得到函数y=()x－3，即函数y=8·2－x的图象.121212121212例2.求下列函数的定义域和值域：(1)y＝32x+4；(2)y＝(53)－|x|；(3)y＝(13)2x－x2；(4)y＝4x－2x＋1＋1.[解析](1)x应满足x＋4≠0，∴x≠－4，∴定义域为{x|x≠－4，x∈R}．∵x≠－4，∴x＋4≠0，∴2x＋4≠0，∴32x＋4≠1，∴y＝32x+4的值域为{y|y0，且y≠1}．(2)定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝(53)－|x|＝(35)|x|≤(35)0＝1，∴值域为{y|0＜y≤1}．(3)令u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，则u≤1，又y＝(13)u为减函数，∴y＝(13)u≥(13)1，即函数的值域为[13，＋∞)．(4)定义域为R.令2x＝t(t0)，则y＝4x－2x＋1＋1＝t2－2t＋1＝(t－1)2.∵t0，∴t－1－1，∴(t－1)2≥0，∴y≥0，∴值域为{y|y≥0}．练习2：求下列函数的定义域和值域；(1)y＝(12)x2－2x＋2；(2)y＝1－12x.解：(1)使函数有意义x∈R，定义域为R.令t＝x2－2x＋2，则y＝(12)t.t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵x∈R，∴当x＝1时，tmin＝1；无最大值．t≥1，∴0＜y≤(12)1，故所求函数的值域为(0，12]．(2)由题意知1－(12)x≥0，∴(12)x≤1＝(12)0，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0，∴(12)x≤1.又∵(12)x＞0，∴0＜(12)x≤1.∴0≤1－(12)x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．例4.已知f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)试判断函数f(x)在区间(－1,0)上的单调性，并给出证明．[解析](1)当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x＋1＝－2x1＋4x.又f(0)＝0，∴f(x)＝2x4x＋1，x∈0，1，0，x＝0，－2x4x＋1，x∈－1，0.(2)函数f(x)在区间(－1,0)上为单调减函数．证明如下：任取区间(－1,0)上的两个实数x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－2x14x1＋1－(－2x24x2＋1)＝2x24x2＋1－2x14x1＋1＝2x1－2x22x1＋x2－14x1＋14x2＋1.∵2x1－2x2＜0,2x1＋x2－1＜0,4x1＋1＞0,4x2＋1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)在区间(－1,0)上为单调减函数．练习：已知函数f(x)＝(12x－1＋12)·x.(1)求函数的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.(3)证明：当x0时，2x1，∴2x－10.∴(12x－1＋12)·x0，即f(x)0.又∵f(x)是偶函数，故当x0时，f(x)0亦成立，∴对于定义域内的x，总有f(x)0.[解析](1)由2x－1≠0，得x≠0，故函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)∵f(x)＝(12x－1＋12)·x＝2＋2x－12·2x－1·x＝x2·2x＋12x－1，又f(－x)＝－x2·2－x＋12－x－1＝－x2·1＋2x1－2x＝x2·2x＋12x－1＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．