高中数学人教A版必修四同步课堂第一章 1.4 1.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函

NO.1课堂强化考点三1.4三角函数的图像与性质课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章三角函数考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.2课下检测1.4.2第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性返回返回返回返回返回[读教材·填要点]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数返回2．正、余弦函数的周期正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，最小正周期为,2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期．3．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sinx(x∈R)是函数，图像关于中心对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是函数，图像关于对称．原点(0,0)2π奇偶y轴返回[小问题·大思维]1．如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是不是f(x)的周期？提示：不一定，当n≠0时，nT是f(x)的周期，当n＝0时，nT不是f(x)的周期．2．是不是所有的周期函数都有最小正周期？提示：并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．返回3．y＝sin(π2＋x)是奇函数对吗？提示：不对．∵sin(π2＋x)＝cosx，∴应为偶函数．4．对于函数y＝sinx，x∈R有sin(π6＋2π3)＝sinπ6，能否说2π3是它的周期？提示：不能．周期必须是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．返回返回[研一题][例1]求下列函数的周期：(1)y＝sin(2x＋π3)(x∈R)；(2)y＝|sinx|(x∈R)．返回[自主解答](1)法一：令z＝2x＋π3，∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(2x＋π3)(x∈R)的周期是π.返回法二：f(x)＝sin(2x＋π3)中，ω＝2，∴T＝2π2＝π.(2)作出y＝|sinx|的图像如图：由图像知，y＝|sinx|的周期为π.返回本例(2)中若变为“y＝sin|x|”，它是周期函数吗？解：作出y＝sin|x|的图像知它不是周期函数．返回[悟一法]常见三角函数周期的求法：(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或y＝Acos(ωx＋φ)，ω≠0)的函数的周期T＝2π|ω|.(2)形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的函数的周期T＝π|ω|.返回[通一类]1．函数y＝3sinax＋π6的最小正周期是π，则a＝______.解析：∵2π|a|＝π，∴|a|＝2，∴a＝±2.答案：±2返回[研一题][例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1－sinx1＋sinx.[自主解答](1)函数的定义域为R，关于原点对称．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．返回(2)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为{x|x≠2kπ－π2，k∈Z}．∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．返回[悟一法]判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的作用．返回[通一类]2．函数y＝cos－x2＋π2的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数答案：A解析：cos(－x2＋π2)＝cos(π2－x2)＝sinx2，故为奇函数．返回[研一题][例3]定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－π2，0)时，f(x)＝sinx，则f(－53π)的值为()A．－12B.12C．－32D.32返回[自主解答]∵当x∈[－π2，0)时，f(x)＝sinx，且最小正周期为π，∴f(－53π)＝f(π3－2π)＝f(π3)＝－f(－π3)＝－sin(－π3)＝sinπ3＝32.[答案]D返回[悟一法]解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．返回[通一类]3．若函数f(x)是以π2为周期的偶函数，且f(π3)＝1，求f(－176π)的值．解：∵f(x)的周期为π2，且为偶函数，∴f(－17π6)＝f(－3π＋π6)＝f(－6×π2＋π6)＝f(π6)，又∵f(π6)＝f(π2－π3)＝f(－π3)＝f(π3)＝1，∴f(－17π6)＝1.返回已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？[巧思]判断一个函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；返回(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．返回[妙解](1)∵f(x)的定义域为R，∴当f(x)为奇函数时必有f(0)＝0.即sinφ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．即当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数．(2)∵偶函数的图像关于y轴对称，且正、余弦函数在对称轴处取最值，∴要使f(x)为偶函数，需有f(0)＝±1，即sinφ＝±1.∴φ＝kπ＋π2(k∈Z)．即当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数．返回返回返回